有一些数学问题,例如操作问题、逻辑推理问题等,不能用通常的数学方法来解;还有一些实际问题,研究的是事物的某种状态或性质,其本身与数量无关,也不能用通常的数学方法来解。人们习惯上将上述的这类问题称为非常规数学问题。非常规数学问题近年来在各种数学竞赛、数学建模竞赛及数学知识应用竞赛等赛题中频频出现,特别是它与实际问题密切联系,因此受到广泛关注。
非常规数学问题需要非常规的特殊解法,本文就最常用的图解法、赋值法、抽屉原理及逻辑推理等四种方法,结合实际例子作一探讨。
1图解法
例1(柳卡问题)假设每天中午有一艘轮船由哈佛开往纽约,同时也有一艘轮船由纽约开往哈佛,航行时间都为七昼夜,且均沿同一航线航行。问今天中午从哈佛开出的一艘轮船将会遇到几艘从纽约开来的同一公司的轮船?
这是十九世纪在一次世界科学会议期间,法国数学家柳卡向在场的数学家们提出的一个问题,它难倒了在场的所有数学家,连柳卡本人也没有彻底解决。后来有一位数学家通过下面的图解法,才使问题最终得到解决。
这种方法是:用两条横线分别表示纽约港和哈佛港,某天中午(记作第0天)从哈佛出发的轮船在第7天中午到达纽约,用从下到上的一条斜线表示。用从上到下的斜线依次表示每天中午由纽约开出的轮船经7昼夜到达哈佛。显然两种斜线的交点总数就是相遇的轮船数,共15艘。
值得注意的是,上述图解法,不但给出这一问题的一种简单、美妙、不用数字计算的非常规解法,更有意义的是它可作为一种模型,来解决这一类型的问题,请看下例:
例2某路电车,由Ａ站开往Ｂ站,每5分钟发一辆车,全程为20分钟。有一人骑车从Ｂ站到Ａ站,在他出发时恰有一辆电车进站,当他到达Ａ站时又恰有一辆电车出站,问:
(1)若骑车人在中途共遇到对面开来的10辆电车,则他出发后多少分钟到达Ａ站?
(2)如果骑车人由Ｂ站到Ａ站共用50分钟时间,则他一共遇到多少辆迎面开来的电车?
(3)若骑车人同某辆电车同时出发由Ａ站返回Ｂ站,骑车人用40分钟到达Ｂ站时也恰有一辆电车进站,问在中途有多少辆电车超过他?
解:仿柳卡问题图解法,画出下面的图:
由图可知:(1)骑车人从Ｂ站总共遇到12辆从对面开来的电车到达Ａ站所用的时间,恰好等于Ａ站开出7辆车的时间,即35分钟。
(2)若骑车人一共用50分钟走完全程(即由0到10的那条由下到上的斜线),可知一共遇到15辆电车。
(3)由上到下画一条斜线(由0到8)即表示骑车人由Ａ站出发40分钟后到达Ｂ站,可见中途共有3辆电车超过他。
2赋值法
赋值法解题,是对本身与数量无关的问题巧妙地赋于某些特殊的数值(如±1、0与1等)将其转化成数量问题,然后利用整除性、奇偶性或正负号等的讨论,使问题得以解决。
例3在圆周上均匀地放4枚围棋子,然后作如下操作:若原来相邻的两枚棋子是同色,就在其间放一枚黑子;若是异色,就在其间放一枚白子,然后将原来的4枚棋子取走,以上算一次操作。证明:不论原来4枚棋子的黑白颜色如何排列,最多只须作4次操作,就可使剩下的4枚棋子全是黑子。
解因为只有黑白两色棋子,所以可以用1记黑子,-1记白子。又规定在同色两子之间放黑子,正好符合1·1=1,(-1)(-1)=1;在异色两子之间放白子,正好符合1·(-1)=(-1)·1=-1,因此,这样赋值后就将原来的问题转化为+1和-1的讨论问题。
将圆周上的4枚棋子依次记为ｘ1、ｘ2、ｘ3、ｘ4(继续数下去记ｘ5=ｘ1,ｘ6=ｘ2……)按上面的赋值方法可知:
ｘ2ｉ=1,ｘｉｘｉ+1=1ｘｉ与ｘｉ+1同色-1ｘｉ与ｘｉ+1异色
这样,判断在ｘｉ与ｘｉ+1两棋子之间该放黑子还是白子,就由ｘｉ·ｘｉ+1的乘积符号的正、负来确定;乘积为+1时放黑子,为-1时放白子。按此方法,将各次操作后的正、负号列成下表:(将圆周上的棋子排在直线上)
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