从不同角度看齐次函数的值域

      函数是高中生头疼的，函数值域就更使头疼中的头疼，因为他涉及到不等式、最值甚至导数等诸多问题。不过今天学夫子并不打算谈值域的求法，谈起来也还不如去看书来得明了。今天谈的，是一种大家熟知的函数——齐次分式函数的值域问题。我们从不同的角度来看它。
      我们先来熟悉这个函数的结论
      齐次分式函数：

      现在我们分别从几个不同的角度来看待这个结论，首先大家最熟悉的，应该就是分离系数法了
      1：分离系数法

      2：从解析几何的角度
     我们首先要知道，(cx+d)/(ax+b)在几何上表示点(ax,cx)和点(-b,-d)之间的斜率，而点(ax,cx)是直线y=^c/_ax上的一点。如下图所示：

     由于c/a≠d/b，所以点P不在直线上，那么根据我们的直觉就可以看出来，直线PA的斜率就不可能与直线y的斜率相等，也就是K_PA≠c/a，所以y=(cx+d)/(ax+b)的值域就是y≠c/a
     3：反函数法
     定义域就是求x的范围，值域就是求y的范围，所以如果能求出其反函数，那么求值域就跟求定义域一个样，而恰好我们的齐次分式函数就可以求反函数

     可知其反函数的定义域就是y≠c/a，这也就是原函数的定义域。
     4：从糖开水角度
     是的，我没有打错字，就是糖开水，当然盐开水啥的也可以。我们用生活中的糖开水来检验下面的结论

现在你有一杯a克的糖开水，里面有c克糖，即糖开水的浓度为c/a，现在又有另外一杯糖开水b克，里面有d克糖，即浓度为d/b。现在将这两杯糖开水倒在一块，得到的糖开水中就有(c+d)克糖，(a+b)克糖开水，也就是其浓度为(c+d)/(a+b)，那么上面结论中的意思其实就是：要想让兑后的糖开水浓度和第一杯一样，就必须让第二杯糖开水的浓度和第一杯一样。也就是必须要两倍浓度一样的糖开水混合在一起，其浓度才会不变，或者就是干脆不加第二杯，也就是d=b=0。
由这个结论就可以得到齐次分式函数的值

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