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圆周率的计算——周界法
来源：不详       更新时间：2012-2-5 17:47:09
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 圆周率算是非常古老的问题了，老早人们就发现，圆的周长与直径比值是一个常数，于是求解圆周率的值便伴随着人类的整个发展过程，从一个方面来说，圆周率的近似程度标志着人类文明的发展。虽然如今有了科技的帮助，我们可以计算到小数点后任意多位，不过我们还是有必要来回味圆周率的几种计算方法，看看老祖先如何凭着笔和纸得出令人赞叹的结果的。今天介绍周界法。
      这种方法应该是很经典的方法，包括刘徽等人就是通过这种方法求得近似值的。也就是采用正多边形逼近圆的方法。不过我们不会计算当边增加一边的边长关系，我们会计算当边长成倍数增加后的边长。
      问题：在已知半径的圆里，已知圆内接正多边形的边长，求当边长数加倍后的内接正多边形的边长。
     
      解：如图，AB是圆内接正多边形的边，过圆心做AB的垂线OC，交圆与C，垂足为H，那么AC就是边数加倍后内接正多边形的一边。现在就是要来寻找AC和AB之间的关系，设OA=R，AB=c，AC=c‘。
      AC2=OA2+OC2-2OA·OC·cos∠AOC=OA2+OC2-2OH·OC=2R(R-OH)
      而OH=√R2-C2/4.因此所求的边C'是：
     
      这便是C'和C的递推关系，利用他就可以近似计算圆周率π的数值，不过作用不仅是如此。因为正方形的边等于R√2，则八边形的周长为8R√2-√2；正十六边形的周长等于16R√2-√2+√2；若是以此推下去，我们将得到2n边的正多边形边长为：
     
      如此我们便有了圆周率π的表达式：
     
      若我们计算到n=5，则得到3.14，n越多越精确。不过学夫子认为，上面这个式子的欣赏价值也许远远高于其实用价值，算是圆周率各种各样表达式中的一种。
      文章来源：学夫子数学博客
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