我们昨天借助复数工具，摸索出了向量的除法，完全不用管他对不对，也不管是不是早已有之。学夫子是站在中学生的角度，教会学生如何自己去发现书本没有但是又渴望知道的东西。所以高手些就不要拍砖了。我们其实可以看出，向量的除法依赖于复数的乘法运算，当我们摸索出向量的除法规则时，自然而然就应该想到，应该与其对应的有一种向量的乘法。
我们还是将平面向量和复数对应起来，因为：
(p+qi)(r+si)=(pr-qs)+(ps+qr)i
所以我们完全可以去定义向量的另外一种乘法,因为点乘和叉乘都用上了，我们就给自己摸索出的乘法叫做星乘吧！符号记做※。
(p,q)※(r,s)=(pr-qs,ps+qr)
利用我们上一篇文章一样的方法，可以得到这种乘法一些很有意思的性质：
1：向量星乘的模等于向量模的乘积
证明：记Z=a※b
联系向量除法的性质：向量商的模等于向量模的商。可以看出这种定义下的向量乘法除法有着天然的数学之美。
2：向量星乘的倾斜角等于向量倾斜角的和
证明：记Z=a※b
于是得证，联系起向量除法的性质：向量商的倾斜角等于向量倾斜角之差。便更加对这一定义充满好感了。
我们可以据此来定义向量的幂，也就是形如an。虽然在向量的数量积里面已经见过a2，但是这个更多只是为了方便，因为如果按照这个定义下去就比较麻烦：a2是一个数，a3是一个向量，a4又是一个数。如此便非常不爽，如果我们按照我们刚刚摸索出的星乘来定义向量的幂的话，一切便来的非常自然，而且有下面的性质：
|an|=|a|n.
<an>=n<a>
其中<a>表示向量a的倾斜角。
如果同学们按照上面的过程推导出了结论，恭喜你，你真的有了重大发现，因为这其实就是复数理论里非常重要的“棣莫弗公式”。相关内容可以参考百度，也可以参考学夫子的一篇文章《棣莫弗公式和n倍角公式》。
不过说来说去，这事还是有很大的麻烦，那就是这种规则只适合于平面向量，对于空间向量照这样子就没法弄。至于到底应该如何规定空间向量的乘除法？还需要各位同学进一步学习。
文章来源：学夫子数学博客
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