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有没有向量的除法?

来源:不详       更新时间:2012-2-5 17:47:15
 
向量是中学数学比较重要的一个内容,是继实数以后一种新的量。我们知道向量有加减法,向量有数乘、点乘和叉乘多种运算,唯独向量没有除法运算。这未免有些遗憾。我相信很多中学生都想过这样的问题,向量到底有没有除法运算?
      先不说到底有还是没有,学夫子在这里没有准备介绍中学生没有接触过的新内容,对于这样一个书本没有介绍但是我们又很想知道的问题,我们完全可以按照自己的思路去创造,完全当做当今数学就发展于此,一切都等待我们自己去创造,管他对还是不对!只要我觉得有道理即可。
      都知道实数运算里乘法除法是一对,所以我们希望能从向量的乘法里去创造向量的除法。第一个想到的应该就是向量共线定理。
      a=λb,(默认a和b在本文表示向量)。看见这个显然就能想到:
      a/b=λ
      不过显然这种方法非常遗憾,因为只有当a和b的坐标成比例的时候,这个才有效。看来这个方法失败,也就是想定义向量比值为一数值的思路失效,于是我们转而令一思路:能不能定义向量比值还是一个向量的运算?由于向量的叉乘里没有明确的坐标运算公式(有是有,不过涉及到线性代数),所以直接的定义看来也不行。不过有一个工具在这里帮了大忙,那就是复数,我们知道复数和向量是一一对应的,能不能从复数的运算中寻找答案?
      1:复数的除法仍然是复数
     

      按照这个思路,我们就有了复数的除法公式,按照向量和复数一一对应的思想,我们就完全可以定义向量的除法运算了:

      设a=(p,q),b=(r,s),则:
     

      看来蛮有道理,细细看看分子分母,分母是|b|2,横坐标的分子是a和b的数量积,纵坐标的分子是a和b的叉乘的模。向量的除法同时包含了向量的点乘和叉乘,无不妙哉。
      2:向量除法的性质:
      经过简单的运算,我们可以发现我们刚刚建立的向量除法公式有更多精巧之处:
      A:a和b的商的模等于a和b模的商
     
      B:a和b的商所得向量的倾斜角等于a的倾斜角减去b的倾斜角。
      这个要验证就很简单,a的倾斜角的正切值就是p/q,b的倾斜角的正切值就是s/r,则他们的商的向量倾斜角为:
     
      于是得证。就我们自己创造的这个除法,还有很多有趣的东西可循,大家不妨从不同的角度去看,比如特殊化等等。当碰到一

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