作者：学夫子
我们知道,对于反比例函数xy=k,过曲线上点A做两坐标轴的垂线，形成的矩形面积为一定值k，不过可能很少有人知道，过A点做曲线的切线，切线与坐标轴相交于E和D点，则三角形EOD的面积为一定值2k，具体证明过程请参见彭翕成老师博客，学夫子在这里就不废话了。我想说的就是这个结论本身。其实，此结论更有一般性的结果，我们知道，反比例函数的另一个身份是双曲线，关于他们之间的关系可以参见文章<双曲线与反比例函数>,正因为这个身份,其实对于一般的双曲线,这个结论也成立,即有:
结论:过双曲线一点P做双曲线的切线，分别交两条渐近线于A和B两点，则△OAB的面积为一定值。
如果知道了这个结论，那么一开始的结论便是一种特殊情况。因为反比例函数图像就是旋转后的双曲线，并且两条坐标轴就是该双曲线的渐近线。具体可以参考《双曲线与反比例函数》一文，里面有详细介绍。
对于上面这个结论的证明，如果是运用纯粹的导数法的话，计算量就比较大了，但是最终还是能证明的，一个好一点的方法就是变换法。这要用到一些结论，比如：
将三角形三点坐标按下面方式进行压缩变换：
x‘=x
y’=ky
比如将坐标（1，2）变换成（1，4），这里的k就是2。按此方式变换以后，得到的新三角形的面积S'为原三角形面积S的k倍，证明他要用到行列式知识，如果三角形三点坐标为A(x1，y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则三角形ABC的面积为:
然后利用行列式的基本性质即可证明之,在这里就忽略了.这样一来,我们就可以先将一般的双曲线变换到等轴双曲线,这样得到的新三角形的面积就变成原来的K倍(这里的k=a/b),然后将等轴双曲线逆时针旋转45°就得到xy=c曲线,注意到旋转并不影响三角形面积.这样上面的两步都不影响三角形OAB的面积为定值这一性质,只要能证明xy=c也满足此性质,则就可以证明对于一般的双曲线结论也成立。
学夫子在这里就有点问题求助：证明这个结论是否有更简洁，适合中学生的方法？希望能和大家一起交流，毕竟现有的证明方法对于中学生来说比较高端了。（来源：学夫子数学博客）
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