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用均值不等式求解一类函数值域
来源:
不详
更新时间:2012-4-21 12:56:17
几大均值的直观意义
作者:学夫子
这是中学数学里面比较重要的内容。我在这里总结总结一般的方法,以方便大家的学习。很多学生不太了解其中的变换方式,以为是一项技巧性比较强的活,其实不然,里面其实只需要简单的步骤。
在求解两个多项式之商类型函数的值域时,可以考虑将之配凑成均值不等式求解。求解不是问题,重点在配了,如何配才能配成均值不等式?一句话可以回答:想方设法将分子的未知项配凑成分母的形式。就这一道题而言。分母刨开2不看,就是一个x-1,那么我们就尽量将分子的每一个x都配凑成,这还好办,x=x-1+1
如果你对这个过程不熟悉,你就可以将令t=x-1,则原函数变成:
然后再用均值不等式求解即可。显然可以看出来,我们的基本方向,就是想把分母换成单一的字母,从而方便我们的分离系数。因为只有当分母为单一元素的时候,才能够分离。中学数学里很多时候都用这种方法,比如在我们求解函数解析式的一类题目时。
相信大家还能记得起我们的方法,那就是换元,令t=2x+5,反解x,带入右边将之化成关于t的函数,从而求解出f(x)。这样做的根本目的,无非就是想把左边括号里的多项式换成单个字母,从而求解。这和我们求上面求值域的方法是不是如出一辙?借助这种思想,我们当然就可以给一开始的什么“配凑法”也搞一个换元法:
中学数学之所以很多学生感到复杂,无非就是因为内容太多,方法太多.其实很多数学思想都是相通的.如果在平时的数学教学中能够将那些看起来不同的思想统一起来,对学生的学习当然是大有裨益的.(来源:学夫子数学博客)
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