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猜想归纳法推导数列通项公式的攻略
来源:
不详
更新时间:2012-5-2 12:11:09
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作者:学夫子
数列一向是高中的重点内容,求数列通项公式是其中的一大块,我曾经在《求数列通项公式》一文里详细总结过利用递推公式求通项公式的方法。不过其中没有提到猜想归纳法,本文就对这种方法的大体步骤总结于下,希望对大家有所帮助。
1:如果数列的项很简单,比如纯粹的整数数列
这种类型的题目,一来靠平时多积累,熟练常见题型的解决办法。二来,学会观察所给数列是否为常见的等差等比,若是,就采用等差等比求通项的方法求解。在你不熟悉的情况下,最好熟练用求通项公式的公式去求,而不要一味地凑,这有两个好处,一来熟悉了各种公式,二来也锻炼自己的严谨思维,不会出错。比如:
6,9,12,15,……
这是一个等差数列,首项为6,公差为3,故通项公式为an=6+3(n-1)=3n+3。很多人习惯去凑,这是不好的习惯,最容易犯错的地方就是项数给搞错。
如果数列的项与项数的关系不明显,可以先写出后一项与前一项(或者前几项)的关系,然后运用递推公式求数列通项公式的方法求通项公式。比如:
3,6,10,15,21,28,……
这个时候的项与项数的关系就不那么明显。遇到这种情况,可以先考察相邻项的关系,可以通过观察相邻两项和差积商的变化规律,隔项的变化规律等得到该数列的递推关系,比如上面的题目中可以观察到:
an-an-1=n+1,a1=3
从而你就可以运用递推关系求数列的方法求通项公式,在这里是采用累加法。
另外值得提起的就是关于N级等差数列的概念。N级等差数列的通项公式是一个N次多项式。这样就可以采用待定系数法解决。
2:如果数列的项比较复杂
若数列的项比较复杂,这个时候可以将项分解成几个部分,比如符号,分子,分母,指数,真数,底数等等,然后观察每一部分与项数的关系。期间可能没那么容易划分,需要自己的眼睛去发现
比如,求出下列数列的一个通项公式
将数列的项分成三大部分——符号,分子和分母。符号是正负相间的,我们用(-1)n或者(-1)n+1来调节,至于到底用哪个,因题目而异。我们能看到其分母应该是成等比数列,所以我们将他们还原:
这样分母是一个以2为首项,2为公比的等比数列,故分母可以记作:2n。同理分母是一个等差数列,其通项公式为2+3(n-1)=3n-1
故整个数列的通项公式就为:
要注意的是,这种题目不仅仅是在小题中出现,大题也会有。这时候我们猜想出的通项公式只是一个“合情猜想”,要验证合理正确,还要集合数学归纳法予以证明。(来源:学夫子数学博客)
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