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定比分点公式

来源:不详       更新时间:2012-5-5 15:22:34
 
作者;学夫子
  
  看题目就知道我今天要说的主角和内容,那就是高中数学里的定比分点公式。先来看看定比分点公式的内容吧。然后再来看看我们应该如何理解这个定比分点公式。
  
  如图所示,点P分线段P1P2的比例为:P1P/PP2=γ,那么:
  
  这个公式很有用,不过也最容易记错,不知道γ到底在哪个地方,到底是在前面还是在后面?我们不妨来看看定比分点的本质。
  
  大家应该还记得平面向量基本定理吧!是这样说的,在一个平面立面有两个不共线向量e和f,那么对于这个平面里面的任何一个向量a,存在着一组数(m,n),使得a=me+nf,也就是说平面里的任何一个向量都能用e和f来表示。而定比分点公式,无非就是这个原理的一种特殊应用而已。
  
  把OP1,OP,OP2看做三个向量,并且坐标原点为O,向量OP1和OP2是两个不共线向量,依照向量基本定理,对于任何一个向量OP,总能表示成OP=mOP1+nOP2。现在的特殊情况是,当P点和P1、P2共线的时候,m和n有什么关系?这下就应该利用向量的共线定理来解决。通过简单的共线定理知道,这个时候m和n满足:m+n=1.也就是说:
  
  OP=mOP1+(1-m)OP2
  
  进一步通过计算得知,m=1/(1+γ)。便有了定比分点公式。让大家看清这个公式与向量基本定理之间的关系。如果大家搞不清楚到底γ到底是在x1那里还是在x2那里,给大家一个方法,那就是你假设γ=0,在这里也就是当P1P=0,你可以发现OP=OP1,由此便知道γ应该在x2前面。(来源:学夫子数学博客)

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