学生在几何解题中的思维误区与中考复习

　　图（3）
　　
　　相当多学生的证明是：∵四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，∴AB=AD，AE=AG．且∠ABE=∠ADC=90?/SPAN>，∴∠ADG=90?/SPAN>，∴△GDA与△ABE都是直角三角形．
　　
　　在Rt△ADG与Rt△ABE中，AE=AG，AB=AD．∴△ADG≌△ABE（HL）．
　　
　　在这里，他们没有注意到题中的“连接GD”的含义意谓着C、D、G三点可能不在同一直线上，这些学生仅是根据图形的形状就主观臆测得出∠ADG=90?/SPAN>，因而错误地运用“HL”定理证明了△ADG≌△ABE．
　　
　　（四）“思”无反顾
　　
　　“思”无反顾指的某些学生善于从正面入手解题，但不善于使用逆向思维进行逻辑分析．逻辑思维具有多向性，它不仅可以正向思维，也可以逆向思维．在证明题中，如果从条件出发很难直接得到结论，我们可以采用逆向思维，从结论出发，采取倒推的方法，逐步分析．在存在性探索题中，如果要探索的这个数学对象凭直觉无法猜出，也可以先假设这个数学对象已经存在，同样地从结论出发，采用逆向思维向上回溯，逐步分析，最后得出所需要的数学对象．由于这类题要求的思维度比较高、难度较大，不善于使用逆向思维方法进行思考的同学往往会感到束手无策．
　　

　　图（4）
　　
　　案例四、如图（4），将一张矩形纸片ABCD（AD>AB）折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE．在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
　　
　　某女生在解答这道题时，在尝试着猜测几个特殊点无果以后，认为AC上不存在这样的P点．老师提示她，能否采用逆向思维进行分析，先假设这个P点已经找到，再将2AE2=AC·AP中的数学“2”化去，然后化为比例式再求解．她顺着这条思路将2AE2=AC·AP转化为AE2=OA·AP，再化为

，她发现，AE与OA分别是Rt△AOE的斜边与直角边，对应地，AP、AE也应分别为Rt△AEP的斜边、直角边，因此，只要过E点作AD的垂线交AC于一点，这点就是要寻找的P点，问题迎刃而解．
　　
　　仔细分析这位女生的思维轨迹不难发现，她还没有形成较系统的逆向思维的意识与习惯，因此，她只会采用正向思考并猜测的方法来解题，当要找到的点不是已知的几个特殊点之外，其结果可想而知．
　　
　　在几何学习过程中，某些学生除了上述思维上的误区以外，还存在着：证明过程中的“因为、所以”的上下语句之间不存在因果关系，滥用同理可证等一些似是而非的证明，稍不留神，就有可能被这个证明蒙混过关，给他将来的学习埋下隐患．
　　
　　二、学生在数学思想方法的使用中的思维误区
　　
　　（一）不能正确使用分类讨论的数学思想
　　
　　分类讨论的思想方法是人们认识客观世界过程中长期积累形成的一种策略思想．在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况进行讨论．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略[1]．
　　
　　在运用分类讨论思想时，学生经常出现的问题有：（1）对于某些应该讨论的问题，因思维不严谨，发现不了可能出现的不同情况，想不到需要讨论；（2）发现需要讨论的问题时，划分情况又难以做到不重不漏；（3）不善安排讨论时机．
　　
　　案例五、潘婧昳同学是一个心无城府、性格豪爽的女生，做事风风火火，但完成的质量不够精细，作业本上书写的文字也颇具男生特点，被同学戏称为“山东大汉”．

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