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线与形的完美结合

来源:不详       更新时间:2012-7-24 13:03:56
 
遂宁市安居区拦江中学  彭文俊
  
  “简单的线性规划”系新教材增设的重点内容之一,因其在生产实践中的实用性和数形结合的完美性,备受高考命题者的青睐,亦在各类考试中侠踪频闪。其考法主要有以下三大类:
  
  一、用集合观点理解不等式表达的平面区域。
  
  例:设平面上两点A(1,2)和B(-1,2)分布在直线2x+y+m=0的异侧,求m的取值范围。
  
  理解说明:若点(x,y)在直线上,则二元函数f(x,y)=2x+y+m=0直线两侧的点集分别为f(x,y)>0或f(x,y)<0的区域。
  
  解:设f(x,y)=2x+y+m=0
  
  由题知f(1,2)×f(1,2)<0
  
  即(4+m)m<0
  
  ∴–4<m<0
  
  二、考察目标函数的几何意义。
  
  x–y+1≧0
  
  例:设实数x,y满足约束条件x+y–2≧0
  
  x≦0
  
  y≦0
  
  求:(1)z=x+2y的最大值和最小值。
  
  (2)y/x的最大值
  
  (3)x2+y2–2x–y的最小值
  
  理解说明:(1)形如z=ax+by型的线性目标函数是线性规划处理的重点问题。变形为y=–a/bx+z/b后,其意义凸现出来;即当直线y=–a/bx平移于可行域内在y轴上的截距z/b取最值时,相应目标函数取最值。
  
  (2)令y/x=k则y=kx,则k表示过原点直线的斜率。
  
  (3)x2+y2–2x–y=((x–1)2–(y–1/2)2)2–5/4表示定点(1,1/2)与可行域内动点(x,y)的距离的平方与5/4的差。
  
  解:作出可行域如下:
  
  (1)作直线x+2y=0,即y=–1/2X平移至可行域内滑动观察知过点B(2,2)时y=–1/2X+z/2的纵截距最大此时z最大。过点A(2,0)时,y轴上截距最小,即z/2最小即z最小。
  
  故Zmax=2×2+2=6,Zmin=2+2×0=2
  
  (2)令y/x=k,则y=kx,显然直线y=kx过D点时,斜率k最大。
  
  x+y–2=0
  
  由知D(1/2,3/2)故kmax=3。
  
  x–y+1=0
  
  (3)令m=x+y–2x–y=((x–1)2–(y–1/2)2)2–5/4
  
  定点(1,1/2)到直线AD距离最小由d=∣1+1/2-2∣=1/22
  
  ∴d2=1/8
  
  故mmin=1/8–5/4=–9/8
  
  三、求平面区域的面积。
  
  例:求︳x–2︳+︳y–2︳≦2不等式表示的平面区域的面积。
  
  理解说明:︳x–2︳+︳y–2︳≦2表示的区域可看作由
  
  ︳x︳+︳y︳≦2表示的区域向右向上各平移2个单位得到
  
  故面积不变。
  
  x≧0
  
  解:在︳x︳+︳y︳≦2中,先作出y≧0表示的区域如图中的△OAB,
  
  x+y≦2
  
  再由对称性作出其它三个区域,构成正方形ABCD,其面积为8。
  
  故︳x–2︳+︳y–2︳≦2表示的平面区域的面积为8。
  
  变式思考:︳x+a︳+︳y+b︳≦2
  
  表示的平面区域的面积为8(与a,b无关)。

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