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二次方程根的分布问题中对称轴位置确定

来源:不详       更新时间:2012-9-9 21:03:28
 
二次方程根的分布问题绝对是重中之重,不仅是不等式里的重点,而且常与解析几何,导数等内容结合起来作为大题考察。我们知道的是,对于二次方程根的分布问题,不管是什么情况,只需要搞定三个方面:判别式;对称轴范围以及端点函数值符号。只要这三个方面都考虑进去,那么关于此类问题也就解决,只是在一些特殊情况下,有些因素没有限制,而有时候有些因素用不着考虑,但是大体的方向一定是如此。不过据我在平时教学中的观察,大多数学生对于判别式和端点函数值符号都能够准确判定,唯独对于对称轴的位置判定往往找不到头,特别是遇到类似下面这样的一道题:
  
  这是一个典型的根的分布问题,大多数学生对于判别式与端点的函数值符号都能够准确判断,唯独对于对称轴的取值范围不明了,我想大多数学生解决对称轴问题都是采用观察方法,一不小心就容易将此题对称轴的范围看成(-3,1)或是(-2,0),观察细致的同学可能会观察准确的答案,那么有没有比较严谨的办法解决对称轴问题?一定非得靠观察么?本文提供一种方法希望能帮助各位。
  
  只要你注意并且意识到:若二次函数所对应的方程的两根为x1和x2,那么该函数的对称轴为x=(x1+x2)/2,那么所有问题就好办多了。且看:
  
  -3<x1<-2,0<x2<1得到:-3/2<(x1+x2)/2<-1/2,所以该题对称轴的范围是(-3/2,-1/2)
  
  下次在你没有把握的情况下,就可以按照这种方法做,通过两个根的范围得到(x1+x2)/2的范围,这就是对称轴的范围。当无法得到(x1+x2)/2的范围时,说明这个时候对称轴没有限制,这其中也可以结合线性规划进一步确定。举一些例子
  
  1:m为何值时,关于x的方程8x2-(m-1)x+m-7=0的两根均大于1?
  
  x1>1,x2>1,(x1+x2)/2>1所以对称轴的范围是(1,+∞)
  
  2:已知α,β是方程x2+(2m-1)x+4-2m的两根,且α<2<β,求m的取值范围。
  
  α<2,β>2,无法得到(α+β)/2的范围,事实上可以看做-∞<α<2,2<β<+∞,得到-∞<(α+β)/2<+∞,也就是说对称轴没有限制。当然若觉得此法不严谨,可将α和β看做两自变量,利用线性规划解决。(来源:学夫子数学博客)

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