最近读到刘培杰老师主编的《新编中学数学解题方法全书(高中版中卷)》一书,一开始就提到有关解析几何里的圆锥曲线中点轨迹问题,方法比较全,不愧为解题方法全书,不过就这中点轨迹问题而言,我倒是觉得用不着这么多方法,当然对于老师自己提高倒是很有帮助,我是一直想着用最少的方法学最多的东西,减轻学生负担。就此书中所举的所有例子而言,点差法可以解决所有问题。
对于点差法本身的具体含义,我们在下面的例子中就说明。在这里只说有关中点的轨迹方程问题,常见的类型有以下两种:已知斜率或者是已知直线上一点,其中已知直线上一点有一种特殊情况,那就是已知直线中点,当然此时就不是求诡计,而是求其他参数,比如该直线方程啥的。如果没错的话,貌似诸多参考书都只是利用点差法解决中点弦问题,很少求轨迹方程,在这里以此书中的几个例子来说明其进一步的应用。
(已知斜率)例题:求椭圆x2/16+y2/9=1中,斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程
解:设该县与椭圆相交的两点为A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为(x,y),则必然有:
x1+x2=2x,y1+y2=2y
x12/16+y12/9=1…………①
x22/16+y22/9=1…………②
①-②并化简得到:
(x1+x2)(x1-x2)/16+(y1+y2)(y1-y2)/9=0
因为(y1-y2)/(x1-x2)=k,x1+x2=2x,y1+y2=2y,令所以上式变成:
x/16+ky/9=0
这便是其中点的轨迹方程
(已知直线上一点)例题:给定双曲线x2-y2/2=1,过点A(2,1)的直线L与给定双曲线交于A,B,求线段AB的中点P的轨迹方程。
解:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点P为(x,y),则必然有:
x1+x2=2x,y1+y2=2y
x12-y12/2=1…………①
x22-y22/2=1…………②
(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)/2=0,与第一题同理,设直线斜率为k,则该式子可以简化成:x-ky/2=0
根据斜率公式有:k=(y1-y2)/(x1-x2)=(y-1)/(x-2),带入上式得:
2x2-y2[1] [2] 下一页
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