欢迎您:登录 | 注册
科普之友首页
※您现在的位置: 科普之友 >> 数学 >> 数学教学教研 >> 正文  

函数对称性与周期性需注意的问题

来源:不详       更新时间:2012-9-9 21:03:52
 
作为抽象函数的重要内容,对称性和周期性的关系经常都是考察的重点,记住一句话“同号看周期,异号看对称”能解决很多问题,具体内容我就不说了,请参考文章《函数周期性与对称性的关系》,提炼出里面核心的两句话便是:
  
  若函数f(x)有两条对称轴x=a和x=b(a≠b),那么该函数一定为周期函数,且其中一个周期为2|a-b|
  
  若函数f(x)有两个对称点(a,c),(b,c),那么该函数一定为周期函数,且其中一个周期为2|a-b|
  
  若函数f(x)有一条对称轴x=a和一个对称点(b,c),那么该函数一定为周期函数,且其中一个周期为4|a-b|
  
  大伙可以自己尝试去证明这些结论。学夫子在这里想重新对此说明两条,是我们容易犯错,也容易忽略的内容。
  
  一:这些结论一不小心就容易简化为:
  
  若一个函数有两个对称性(不管是轴对称函数中心对称),则其一定为周期函数。
  
  如果有一个判断题是如此讲述,那就是大错特错,函数有两条对称轴,不一定就具有周期性,除非加上这两条对称轴都是垂直于X轴,也就是形如x=a这样的对称轴;一个函数有两个对称点,那也不一定就具有周期性,除非这两个对称点的纵坐标都相等。有一个最简单不过的例子就是函数y=x,下图:
  
  很容易知道,图象上的每一个点都是函数的对称点,显然,该函数没有周期性。该图象的任何一条法线(即垂直于y=x的直线)都是函数的对称轴,该函数没有周期性。这是我们在理解对称性与周期性时需要注意的。
  
  二:注意变化后的对称性周期性条件
  
  永远把握住“同号看周期,异号看对称”这一句话,结合前面的结论,便可以解决这一类问题。只要题目当中给出F(f(x+a),f(x+b))=0,那基本上都是间接告诉你该函数的周期;若给出F(f(x+a),f(-x+b))=0,那基本上也是间接告诉对称性的。这就需要我们对给出的条件进行化简,使之变成与周期性和对称性有关的式子。一般的方法是在f(x+a)与f(x+b)中的x同时加上|a-b|,多化简几步,自然就能化简出来。
  
  如:函数f(x)对任意x满足f(x+2)=1/f(x)。这条件是同号的,铁定跟周期性有关,这就需要我们对其进行化简,同时在括号里加上2得到:
  
  f(x+4)=1/f(x+2)=f(x),说明该函数是以4为周期。
  
  又如:f(x+2)(1-f(x))=1+f(x)。这条件也是同号的,也是和周期有关。我们对括号里的同时加上2得到:
  
  f(x+4)(1-f(x+2))=1+f(x+2),将f(x+2)=(1+f(x))/(1-f(x))带入化简得到:
  
  f(x+4)=-1/f(x),还是没有得到我们想要的结果,那就进一步对括号里的同时加上4,得到:
  
  f(x+8)=-1/f(x+4)=f(x)。说明还是是以8为周期。
  
  当然题目是说不完的,具体思路就是如此。抽象函数因为他的抽象让人头疼,但也恰好是其抽象性使得我们有更多的发挥空间。(来源:学夫子数学博客)

  • 上一个数学:

  • 下一个数学:

  • 初二数学期末备考攻略

    探究π和e的实际意义

    钟面上的数学

    普乔柯趣题

    让平面几何题更加生动活泼

    高中数学一种裂项求和法的认识

    维尔罗杰斯效应

    浅谈几何入门过好六关

    趣味数学 短问题合集

    大千世界的语言—叮叮咚咚的数

    为何规定负负为正

    列表也能解决问题
    数学教学教研
    自然地理
    普通自然地理[今日地理]加拿大培育出环保猪:排便污染
    普通自然地理[今日地理]欧洲最佳野生动物摄影揭晓:水
    普通自然地理[世界地理]印尼境内另一火山7次爆发 当局
    普通自然地理[自然生物]珍稀蜻蜓百余年后重现法国
    宇宙奥秘
    [宇宙探索]天文学家发现又一个“太阳系”
    [航空航天]美国NASA局长来华交流航天探索
    [航空航天]科学家称外星人可能生存于黑洞
    [航空航天]中国民用测绘卫星资源三号进入
    未解之谜
    [UFO飞碟]中国战斗机拍摄视频
    [UFO飞碟]广东佛山出现疑似碟形UFO
    [UFO飞碟]56.com视频
    [未解之谜新闻]ET难觅踪迹引发科学家猜测 黑洞
    生命科学
    [生物*医学]以开发可模拟小脑功能电子芯片
    [生物*医学]艾滋病治疗取得突破性进展 德国
    [生物*医学]科学家再度启动致命禽流感病毒
    [生物*医学]预防霍乱清洁饮食最重要
    动物世界
    [动物世界]湄公河发现怪异古老鱼类 生殖器
    [动物世界]菲律宾捕获世界最大鳄鱼 已列入
    [动物世界]日本封堵口蹄疫失败疫情再蔓延
    [动物世界]浙江一市民人工孵化出双头红耳
    科普文章
    [数学教学教研]根轴与圆的正交
    [医药健康]发现一与中国人寿命相关DNA谱系
    [生命科学]与人脑发育有关独特基因“现身
    [化学教学教研]初三生期末考试前需要做哪些准
    [医药健康]眼泪是艾滋病病毒新“据点”
    [科学考古]考古学家发现史上最高最重企鹅
    设为首页 | 加入收藏 | 联系我们 | 友情链接 | 使用本站前必读
    Copyright © 2007 - 2011 科普之友( www.kepu365.com ) Corporation, All Rights Reserved