中学数学里的极限思想：分段函数的单调性

作者：学夫子
　　
　　虽然我们在高中都未曾接触真正意义上的极限思想，不过在一些内容上却隐隐约约透露着极限思想。若能在平时的教学中透露出一些这样的思想，那么对于学生以后进一步的学习将起到非常好的启蒙作用。我在《中学数学的极限思想》一文中举了两个特别好的例子，今天我再举一个分段函数单调性的例子，刚好契合学生现在的进度。
　　
　　首先我们要明白：一个分段函数要在定义域内单调，需包括两方面，一个是区间单调，一个是端点单调。讨论这一问题要从两个角度来考虑，一个是分段，一个是整体。简单来说就是：
　　
　　函数f(x)在区间（a，b）和（c，d）单调递增，其中c≥b，那么f(x)在（a，b）∪（c，d）上单调递增的条件是：将c带入（c，d）所对于的解析式求得一值m，再将b带入（a，b）所对应的函数解析式求得一值n，那么n≥m。
　　
　　这句话说得有些别扭，以一个例子说明：
　　

　　分析：首先我们确定，由于x≥a时函数为单调递增，所以f(x)只能是单调递增。要在定义域上单调递增，就包括两个方面——首先函数在x<a时单调，那么就要求b>0，然后必须满足端点单调，即：
　　
　　将端点a带入x-b得到的值a-b，要比将a带入bx得到的值ab大或者相等，即a-b≥ab，加上b>0，就是a和b必须满足的条件。
　　
　　当然对于这道题而言是没有什么难度的，我们要从中看到的，是这里面涉及到的极限思想：当x<a时的解析式bx严格来说是不能带a的，因为这个解析式只适合于x<a的自变量。而这里这样做，如果非要说个原因的话，那必须涉及到极限思想：那就是要求函数f(x)在x=a右端的极限值要比左端的极限值要大或者相等，由于高中阶段接触的函数都是初等函数，所以直接把端点值带入即可。如果我们带入端点时发现出现分母为零、偶次根号下为负数等无意义的情况，那就直接可以说明此函数在此端点不单调。
　　
　　内容很简单，但我希望真的能在这些地方给学生传递出所涉及到的极限思想。大学和中学数学之间不应该有那么大的缝隙。这种不同年级之间内容上的平滑过渡是我们的教育应该关注的问题。（来源：学夫子数学博客）