中学数学里的那些“宠儿”

作者：学夫子
　　
　　我们经常会在数学学习中碰到这样那样的特殊情况，都说一般包含特殊，但往往这些特殊情况却成为我们的绊脚石，或许是因为他们太过于特殊，以至于我们经常忽略，也或许我们潜意识中认为他们的地位无关紧要。学习考试的过程中就因为忽略了他们而犯错。在这一期的文章里，我将高中数学里那些“宠儿”总结总结，以便让我们自己时刻注意。
　　
　　1：集合
　　
　　集合里的“宠儿”，自然就是空集，一个没有任何元素的集合。作为从初中进入高中的第一章，仅仅是这一点就足以让很多学生晕头转向，怎么也想不通为何“空集是任何集合的子集”这一性质。如果从子集的定义——如果对于任意的a∈A，都有a∈B，那么就称A是B的子集——来说的话，根本不可能存在一个元素a∈A，条件就不可能成立，那又怎么使得结论成立？我在《浅谈“空集是任何集合的子集”》一文里已经通过几方面来解释，详情参考这篇文章。
　　
　　2：函数
　　
　　要说“函数”一节内容，其最容易忽视的当是常数函数，这是连接常量和变量之间的桥梁。其函数图象属于直线方程的范畴，也恰好说明一次函数是最基本的函数，一次函数里的y=x在函数领域里的位置，就好比数字1在实数乘法里的位置，反函数的符号之所以写成原函数的“-1次方”，其实就包含着这么一点。而常数函数就应当是相当于实数加法里的0、等比数列里的常数列了。
　　
　　3：指数对数
　　
　　指数里最特殊的，要数00，这在中学看来是没有意义的，而在极限理论看来，他之所以没有意义是因为从不同的角度看它都有不同的取值：从0的任何次方等于0来看，他应该等于0，而从任何数的零次方都等于1来看，他又应该等于1。这种不确定性，在极限里就叫极限不存在，自然也就没有了意义。更多内容请参考文章《0的0次方以及0/0》
　　
　　同样的道理，log11也是没有意义的。
　　
　　4：数列
　　
　　数列这一部分重点介绍了等差和等比数列。等差数列的几个公式当中倒没有什么例外，但是等比数列就有——其求和公式分成q=1和q≠1两种情况。虽然我们若从极限的角度，这两种情况其实可以合二为一，但在中学阶段，无疑需要大家分得很清楚。常数数列，实际上是等比数列和等差数列的桥梁，他包含了等差数列d=0的特殊情况，也包含了等比数列q=1的特殊情况，其地位很像函数里的常数函数和实数里的零，起着连接两大不同领域的作用，却也因此常被忽略。
　　
　　5：向量
　　
　　不用说，向量的“宠儿”，当然应该是零向量——一个没有长度的向量，严格来说其方向应该是任意的，却被规定与任意向量平行。这规定貌似和空集的规定很类似，那么又是为何要规定零向量与任意向量平行？一个简单的解释是，这种规定使得零向量其自身平行，从感觉上，相比于一个向量与其自身垂直来说，我们更乐意接受一个向量与其自身平行。当然还可以从平面向量基本定理的角度来考虑，详情可以参考《为何规定零向量与任意向量平行？》一文。
　　
　　当然，从更深层次的角度来说，这种规定是为了保持向量内部运算的封闭性。
　　
　　6：三角函数
　　
　　三角函数里要注意的，就是tanx，因为当x=90°+180°k时没有意义。这也是我们经常犯错的地方。
　　
　　7：直线方程
　　
　　直线方程的宠儿，本质上来说应该来自于三角函数。那就是当倾斜角等于90°的时候，顺带着倾斜角为0°的时候也跟着受宠。在解决任何有关斜率的问题时，都不要忘记斜率不存在的情况，就好像我们在研究任何涉及到子集的问题时，都不要忘记空集一样。也正是因为他的存在，使得我们必须引入直线方程的一般式。这里有一个趣味问题问大家：既然y=kx+b不能表示所有的方程，为何在初中的时候却没有提出来？
　　
　　8：圆的方程
　　
　　圆的方程貌似没有“宠儿”，如果非要说的话，大概单位圆用得比较多。不过如果我们从射影几何的角度来考虑，那么直线和点都会成为圆的宠儿——点可以看做半径为零的圆，直线可以看做半径为无穷大的圆。这种关系在更高级的几何中将得到展现，比如著名的“对偶原理”。
　　
　　9：圆锥曲线
　　
　　椭圆的“宠儿”

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