数学概念中“角”之关联与应用

作者：佚名
　　
　　从角的历史来看，其核心作用在于描述方向的改变.因此，凡是与方向以及方向改变有关的内容都与角相关联.
　　
　　比如“平移与旋转”，所谓“平移”就是物体沿着直线运动，不改变方向.这里所说的不改变方向可以从两个方面理解，一是物体上的同一个点在运动过程中永远在同一条直线上，不改变方向；二是物体上两个不同的点分别沿着两条直线运动，这样的两条直线方向是一致的，也即是平行的.“旋转”是一种物体在运动过程中，方向不断改变的运动.所谓方向不断改变的含义是物体上的同一个点在任意两个不同时刻，在旋转一周之内其运动方向都不一样.数学中描述这种方向的改变通常依赖的是“圆心角”或切线的斜率，这些概念都是与角密切相关的.由此进一步说明了角的核心作用在于描述方向的改变.旋转作为方向不断改变的一种运动，其特殊性在于方向改变的均匀性.这种均匀性表现为物体上一个点如果转过的弧长相同，那么对应的圆心角也一定是相同的.
　　
　　由此可见，“平移与旋转”这一课程内容，与角的认识密不可分.在教学中应当充分认识到这一点，将方向与角的相关联系融入到教学中，使得学生逐步熟悉角这一概念用于描述方向的重要作用.类似于此，与方向和角有关的内容，还有方向与位置、圆的认识、钟表的认识、平行与相交、多边形内角和等.从度量的角度说，方向还可以通过线段长度的比来确定.因此，角与比也是密不可分的.下面通过例子说明这些关联性.
　　
　　一、折线统计图与角
　　
　　“折线统计图”通常被认为是描述发展趋势的.这种说法有一定道理，但并不完全准确.因为“趋势”指的是将来会怎么样，是一种主观的预测.影响这种预测的因素根据实际问题的不同，差异是很大的.严格意义上来说，从折线统计图上可以看到从过去到现在的发展状况，至于未来的发展趋势，需要具体问题具体分析.比如，如果图1的横轴表示时间，纵轴表示气温，那么从早晨到中午是上升的趋势，由此就不能说往后气温还会继续上升.
　　
　　这里主要想说明折线统计图与角的联系.从图1上的折线可以看出，总体是上升的，但上升的“坡度”是有变化的.比如，从O到A上升的坡度就小于从A到B的上升坡度；从B到C就没有上升；从C到D与开始从O到A的上升坡度是一样的.从数学的意义看，决定这种“坡度”的因素是什么呢？
　　
　　从O到B在A点出现了“拐弯”，也就是出现了“角”，这就是《几何原本》英译本中说的“倾斜”.为什么会出现角，原因就是从A到B与从O到A相比，方向发生了改变.换一个说法，就是线段OA和线段AB各自所在直线的方向不同了.这种方向的不同在数学中通常是用水平方向（横轴）作为比较的标准.从图1不难看出，线段OA与水平方向的夹角∠AOE,要小于线段AB与水平方向的夹角∠BAF.所以方向的改变反映出的是角的大小的改变，又一次说明了角用于表达方向的意义.
　　
　　另外从图1看到，在三角形AOE中，线段AE与OE的比是1∶2；在三角形ABF中，类似的比是3∶2.所以角的变化还与相应线段长度的比有关，中学将要学习的三角函数和直线的斜率就是由此产生的.上面的比值1/2和3/2分别叫做线段OA和线段AB所在直线的斜率，即倾斜的程度.也就是直线与横轴向右的方向夹角的正切.图1中BC线段的方向与水平方向一致，所以斜率为0，意味着没有变化；CD的斜率是2/4=1/2，与OA的斜率相同，说明与OA方向一致.如果把线段OA和CD分别延长，就会发现这两条直线平行.所以决定折线统计图上升坡度的因素是角.
　　
　　折线统计图的教学不能仅限于所谓的实际意义方面，还应当把角的理解融入进去，使得这一内容具有“数学味”.这样不仅能够加深对角相关知识的理解，还能提升学生说理的能力，从知识和能力方面为今后的学习奠定基础.
　　
　　二、速度与角
　　
　　与运动有关的问题通常需要研究运动的时间、距离和速度三者之间的关系.对于运动过程中速度不变的运动叫做匀速运动，速度发生变化的运动叫做变速运动.为了研究的方便，可以画出如下的折线图（见图2）.
　　
　　在图2中，假设某点从O点经A、B、C点向D点运动，横轴表示运动经过的时间.从O点到A点的运动时间与从A点到B点的运动时间是相同的（因为OE=AF），但从图2中明显看出运动距离EA和FB是不一样的.相同时间运动距离不同，说明运动速度不同.在图2中显示出的就是EA和FB与水平方向的夹角∠AOE和∠BAF不同.

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