作者：佚名
向量进入高中教材以后,为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具,它具有代数形式和几何形式的“双重身份”,融数形于一体.但是它和以往学习的数学运算有很大的不同,致使很多学生感到困难,老师一直强调向量和数量的区别是既有大小又有方向,可是很多学生产生了这样的疑问:这个既有大小又有方向的向量不能存在除法吗?为什么课本里只出现了乘法?对于这个问题很多老师的回答是就这样规定的或者这个问题等你们以后上了大学才会研究,现在不需要知道.这样的回答显然不能使学生满意,下面就说说这个问题.
一、数学中如何理解除法
除法的定义:已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算.除法是乘法的逆运算,如果存在乘法的逆运算,那么除法就存在.
逆运算的定义:运算是一种对应法则.设A是一个非空集合,对于A中的任意两个元素a,b,根据某种法则使A中有唯一确定的元素c与它们对应,就说这个法则是A中的一种运算.这样,给了A的任意两个元素a和b,通过所给的运算,可以得到一个结果c.反过来,如果已知元素c,以及元素a,b中的一个,按照某种法则,可以得到另一个元素,这样的法则也定义了一种运算,这样的运算叫做原来运算的逆运算.逆运算的过程也就是求解逆元的过程.
设G是一数域,对于乘法运算“·”有
证:设方程的解为x=a',y=a″,即有aa'=1和a″a=1.
因为a'=1·a'=(a″a)a'=a″(aa')=a″·1=a″,所以aa'=a′a=1即a在G中的逆元是唯一确定的.
二、分析向量乘法的逆运算
这里可以采用“假设”的方法.假设的方法,就是在不知道某判断是否正确的时候,先认为它是正确的,以此为前提(条件)进行推理,看一看推理的结果是否正确,如果正确.说明这个判断是真的,如果推理的结论不正确,说明这个判断是假的[2].那么现在假设向量存在除法,下面从向量数量积和向量积的逆运算分别展开证明,可以得出向量的除法是否存在
1.向量的乘法
数量积的定义:两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π].两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b.若a,b不共线,则a·b=|a||b|cos〈a,b〉;若a,b共线,则a·b=±|a||b|.
向量积的定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a,b不共线,则a×b的模是:|a×b|=|a||b|sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0[3].
2.数量积的逆运算
假设数量积存在除法,设向量a,x的乘积为m,则=x,因为除法是乘法的逆运算,所以a·x=m,由定义可得:两个向量的数量积等于一个向量的模乘以另一个向量在此向量上的射影,那么如果把a固定不变,改变x的方向和大小,发现有无数个向量的射影等于原来x在a上的射影,即乘积不变.那么向量x的解是无穷多的,即向量的商不是唯一确定的.
这个结论可以从直观上去观察.如图1:
举例证明:
取两个互相垂直的向量a和b,即a和b的夹角为90°,则a·b=0;再取一个向量c,根据向量与实数的乘积仍然是个向量,可以让c=(d+λb);则a·c=a(d+λb)=a·d+a·λb,因为a·b=0,所以a·c=a(d+λb)=a·d+0=a·d,即=c,又因为λ可以取任意值,那么向量c就不能唯一确定,即向量的商为一个不确定的向量.
3.向量积的逆运算
同理,假设向量积存在除法,因为向量积的结果是一个向量,所以设a,x的乘积为m,则=x,根据逆运算可得a·x=m.由定义可知:向量积的模可以看作平行四边形的面积,假定a是不变的,那么变化x的长度和方向,也可以得到相同面积的平行四边形,显然这样的x是无穷多的,同样可以得到向量的商不是唯一确定的结论.
这个结论也可以从直观上去观察,如图2:
[1] [2] [3] 下一页
|
