圆上N等分点的一个性质探究

　　作者：学夫子
　　
　　在《圆N等分点，一个漂亮至极的结论》一文里提到的一个性质：
　　
　　将一个单位圆N等分，取其中一个N等分点，则这个点到其他N-1个点之间的距离乘积等于N。
　　
　　今天我们就来对其进行证明，所要用到的，就是我们上一篇文章所提到的n倍角公式以及韦达定理。先给出一个图示，以便知道，这个性质的证明最终会变成什么。
　　
　　一：问题转化：
　　
　　若上图是圆的n等分点图，那么弦AB所对圆周角为π/n，AC所对的圆周角2π/n，AD所对的圆周角就是3π/n……以此类推第k条弦所对圆周角就为kπ/n，根据简单的三角函数运算，其实我们的性质就是要证明下面的式子成立：
　　
　　而我们知道，由于正弦函数的对称性，上面式子中前后对称的地方时相等的，所以我们分n为奇数和n为偶数的情况：
　　
　　当n=2k+1时，原式等价于：
　　
　　……①
　　
　　当n=2k时，原式等价于：
　　
　　…………②
　　
　　二：构造方程，利用韦达定理求解：
　　
　　这个是重点，只要能证明它，啥都不是问题。在进一步证明之前，必须先知道我们的韦达定理——不仅仅是我们中学所学的那个。
　　
　　我们要用的就是最后那一个，如果我们能构造一个方程，使得sin(kπ/n)是某一个高次方程的根，那么我们就可以根据韦达定理算出其值，到时候我们就只需要找到这个方程的常数项和最高次项即可。sin(kπ/n)会是哪个方程的根？我们考虑这个方程：
　　
　　若能将此方程展开为sinx的方程，那么我们的sin(kπ/n)不都是方程的根了吗？利用棣莫弗定理将其展开：
　　………………………………③
　　
　　现在分别考虑n为奇数以及n为偶数的情况。
　　
　　A：当n=2k+1时：
　　
　　因为sinx≠0，所以sin(nx)=0的根就是右边中括号里面方程的根，令sin2x=t，则该方程为：
　　
　　…………④
　　
　　根据代数基本定理，这个方程有k个根。那么:
　　

[1] [2] 下一页