探究逼近根号值

作者：学夫子
　　
　　我曾经在《用除法计算开方》一文里提到用二分法逼近根号值的方法，今天再来介绍一种方法，来自于台湾一名数学研究员的论文。先介绍基本过程，然后介绍原理，以逼近√2为例：
　　
　　任意取一正分数，将其分子分母相加，作为新分数的分母，将其分子与分母的两倍相加，作为新分数的分子；再次对新分数进行同样的步骤，得到的新分数值就会越来越逼近根号2.以1/2为例：
　　

　　而我们都知道的，√2=1.4142135623，上面的结果，已经非常接近，若要想得到更为精确的值，可以照着这个步骤继续下去。越到后面越精确。
　　
　　精妙之处不在于这方法能无限接近根号2数值，而在于不管我们初始分数取什么，他都能接近。殊途同归，具有自动纠错的功能，这才是其精妙之处！不信，你取5/1来试……
　　
　　为何上面的过程会有这样的效果？假设初始分数为a/b，那么其下一个分数就为：
　　

　　为了说明问题，我们需要对上面的分数进行改装：
　　

　　那么根据我们的步骤，下一个步骤就是要把我们的x代换成(x+2)/(x+1)，以此下去，我们的x与(x+2)/(x+1)就变得非常接近，设这个分数的极限值为K，那么有：
　　

　　解得k=√2，也就是这个过程下去的极限值为√2。
　　
　　我们也可以从连分数的角度来看待这个问题，将(x+2)/(x+1)写成1+1/(x+1).那么下一步就是要把x换成1+1/(x+1)，以此写下去，将得到下面的连分数：(具体过程就交给各位啦)
　　

　　而这刚好就是√2的连分数，看来这个方法的本质还是连分数逼近。搞透这个原理，要理解下面的推广就不是难事：
　　
　　将上述步骤中用n代替2，将得到逼近√n的分数，也就是只需要重复执行下面的步骤，就可以得到√n的的近似值：
　　

　　比如我们要逼近√7，从2/3开始，进行下面的步骤：
　　

　　而√7=2.646……
　　
　　用前面一样的原理，都能很容易地对其进行解释。要说也不是很新鲜，因为事实上在前面有关连分数的文章中，已经隐隐约约就有这种思想。
　　
　　说道这里，我们自然会问，能否用这种方法逼近一个数的高次方根？答案是肯定的。只不过我们要对这个方法进行改进，事实上，文中的蓝色字部分才是精髓，下一篇文章我们就将采用这个方法，来逼近高次方根。（来源：学夫子数学博客）