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差比型数列求和的几种方法

来源:不详       更新时间:2013-3-29 11:28:30
 

  作者:学夫子
  对于目前来说,差比型数列的求和算是数列这一章较难的内容了。其求和多采用的是错位相减法,该法有它非常好的优点——那就是方法直接。对于不习惯数学中拐弯抹角的同学来说非常适合,很多学生反映此法计算量较大,其实若细细掌握其中要领,完全可以避免这一类错误,速度也能得到提升。笔者在平时的学习中捉摸出了另外的几种方法,各有千秋,放在这里共勉。在这里就不再介绍错位相减法,如有同学对此法有不理解或容易犯错之处,可在下方留言,我定会细细解答。
  一:裂项求和法
  在未搬家之前,我曾经写过此法的文章。下面就以最简洁的方式描述。


  (r,s为待定常数)。注意f(n)在形式上和an一样,都是一次函数与指数函数的乘积,且指数函数部分与原来一样。接下来,你可以采用特殊值法或是待定系数法求r和s。


  对应系数相等即可求出r和s,进而通过裂项求和法求解,且此法还不用讨论n=1的情况。
  二:错位相减法的另一版本


  ①-②既得Sn的解,因为中间的全都消掉了。这种方法本质上仍然是错位相减法。只是因为错位相减法本身相减的时候无法把中间消掉,留下一个等比数列求和,而此法是先把该等比数列减掉,以便中间能够直接去掉。
  三:导数法
  此法是建立在如下一个认识上:任何一个差比型数列求和最终都可以归结为具有的前n项和。这里故意留成n+1而不是n,就是为了导数的应用做准备。且将an看成关于p的幂函数,而不是关于n的指数函数。那么


  利用函数除法求导公式即可求解。求解完以后需要将本身的p值带回去。在实际应用中,p往往是个常数,次数需先将其看成未知数,最后再带回。(来源:学夫子数学博客)
  

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