反函数的符号为何是函数的“

作者：学夫子
　　我想我就不必解释反函数是何物了吧。简单滴说，就是将函数的自变量与因变量互换得到的新函数，就称之为原函数的反函数，一个函数有反函数的条件是，他再定义域范围内严格单调。
　　如果函数记为f(x),那么他的反函数就记为f^-1(x),在中国的教材里，反三角函数记为arcsin，arccos等等，但是在欧美一些国家，sinx的反函数记为sin^-1(x)。咋看咋感觉这记号大有来头，怎么就觉得和x^-1这种记号有些关系呢？
　　事实上，这种想法是对的，数学里没有无缘无故的规定。x^-1表示1/x，那么f^-1(x)与这是否有些关系呢？下面举几个例子来说明这点。当然，f^-1(x)肯定和1/f(x)不等，但是确实有与之很相近的性质。
　　1：反函数的反函数
　　为了好看以及对比，我有时会把f^-1(x)写成f^-1.对比，我把我想各位应该很好理解，反函数的反函数当然就是原函数，写成数学语言就是(f-1) ^-1=f,看看，这是不是有点像指数的运算法则：(x-1) ^-1=x呢？
　　2：反函数的导函数
　　这个应该就很像了。这也是高等数学的内容，中学同学就看不懂了，所以有些东西必须等到后面才能懂的。
　　(f^-1(x))’=1/f’(y)
　　用自然语言来说就是，反函数的导数，等于原函数导数的倒数。这话有点绕，不过应该能读懂，这个似乎就进一步揭示了反函数符号的意义。
　　在这里要说明的是，y=x³的反函数应该是x=y^1/3。只不过在通常的情况下，我们将x写作y，y写作x，以符合习惯。所以，虽然反函数和原函数不互为倒数，但是其导函数却是互为倒数。
　　3：反函数的复合函数
　　话说这个内容属于高等数学的内容了。大伙想想函数里面最简单最基本的函数是什么函数？不用说，肯定就是我们的恒等函数y=x，这就和我们数字里面的1一般地位，所以，我们记恒等函数为“1_x”。
　　数字的基本运算就是加减乘除，而函数也有运算，虽然也有加减乘除，但是属于函数自己的，就是复合与反函数。我们知道在实数里，x与x^-1的乘积等于1，在函数的复合运算里，也有类似的性质，函数f和g的复合记为f○g，那么下面的性质成立
　　f○f^-1=1x
　　1_x○f=f○1_x=f
　　这第一个式子已经说明很多问题。实际上，这些都是属于高等代数的内容，在每一个封闭的系统里，都有一个“单位1”，都有自己的运算法则，函数里的就是1_x，实数里的就是数字1等等。要深刻理解这些，也只有大家接触群论以后才会深入理解。这里也只是做点皮毛而已。我将在后面另起一文，介绍函数的“幂”的概念，就如同数的幂一样。（来源：学夫子数学博客）