分形（Fractal）理论原来是现代数学的一个新分支：新的几何学。但其本质却是一种新的世界观和方法论，为动力系统的混沌理论提供了强有力的描述工具，加上在系统科学中的其它应用，为此被视为一种重要的系统理论。
分形理论揭示世界的局部可能在一定条件下，某些过程中，或在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）可以表现出与整体的相似性，认为空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。
1）什么是分形
分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(Mandelbort)首先提出的。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。
海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体形态的相似。
在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片,看上去会十分相似。
事实上,具有自相似性的形态广泛存在于自然界中,如:连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。1975年,他创立了分形几何学(fractalgeometry)。在此基础上,形成了研究分形性质及其应用的科学,称为分形理论(fractaltheory)。
2）分形理论的重要原则
自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则，它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。
由于自相似性是从不同尺度的对称出发，也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构，如科赫(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。这种有规分形只是少数，绝大部分分形是统计意义上的无规分形。
科赫雪花曲线
谢尔宾斯基地毯曲线
分维，作为分形的定量表征和基本参数，是分形理论的又一重要原则。分维，又称分形维或分数维，通常用分数或带小数点的数表示。长期以来人们习惯于将点定义为零维，直线为一维，平面为二维，空间为三维。爱因斯坦在相对论中引入时间维，就形成四维时空。对某一问题给予多方面的考虑，可建立高维空间，但都是整数维。在数学上,把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲，维数也不变，这就是拓扑维数。然而，这种传统的维数观受到了挑战。曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数：从很远的距离观察这个绳球，可看作一点(零维)；从较近的距离观察，它充满了一个球形空间(三维)；再近一些，就看到了绳子(一维)；再向微观深入，绳子又变成了三维的柱，三维的柱又可分解成一维的纤维。那么，介于这些观察点之间的中间状态又如何呢？
显然，并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。数学家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了连续空间的概念，也就是空间维数是可以连续变化的，它可以是整数也可以是分数，称为豪斯道夫维数。记作Df，一般的表达式为：K=LDf，也作K=(1/L)-Df，取对数并整理得Df=lnK/lnL，其中L为某客体沿其每个独立方向皆扩大的倍数，K为得到的新客体是原客体的倍数。显然，Df在一般情况下是一个分数。因此，曼德布罗特也把分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合。英国的海岸线为什么测不准？因为欧氏一维测度与海岸线的维数不一致。根据曼德布罗特的计算,英国海岸线的维数为1.26。有了分维，海岸线的长度就确定了。
分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支,又是一门新兴的横断学科。作为一种方法论和认识论，其启示是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似,启发人们通过认识部分来认识整体，从有限中认识无限;二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序；三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。
3）关于分形理论的哲学思考
来自科学哲学的情报表明，一些富于探索精神的哲学家们，正在试图把分形的概念和思想抽象为一种方法论，它是一种辨证的思维方法和认识方法。部分与整体的关系是一对古老的哲学范畴，也是分形理论的研究对象。把复杂事物分解为要素来研究是一条方法论原则——简单性原则。哲学史上，人们很早就认识到，整体由部分组成，可通过认识部分来映象整体。系统中每一个元素都反映和含有整个系统的性质和信息，即元素映现系统，这可能是分形论的哲学基础之一。
从分析事物的视角方面来看，分形论和系统论分别体现了从两个极端出发的思路。它们之间的互补恰恰完整地构成了辨证的思维方法。系统论由整体出发来确立各部分的系统性质，它是沿着宏观到微观的方向考察整体与部分之间的相关性。而分形论则相反，它是从部分出发确立了部分依赖于整体的性质，沿着微观到宏观的方向展开的。系统论强调了部分依赖于整体的性质，而分形论则强调整体对部分的依赖性质。于是二者构成了“互补”。
分形论的提出，或许具有以下几个方面的意义。
首先，它打破了整体与部分之间的隔膜，找到了部分过渡到整体的媒介和桥梁即整体与部分之间的相似。其次，分形论的提出，使人们对整体与部分的关系的思维方法由线性进展到非线性的阶段，并同系统论一起，共同揭示了整体与部分之间多层面、多视角、多维度的联系方式。分形论从一个新的层面深化和丰富了整体与部分之间的辨证关系。
再次，分形论为人们认识世界提供了一种新的方法论，它为人们从部分中认知整体，从有限中认知无限提供了可能的根据。
最后，分形论的提出进一步丰富和深化了科学哲学思想中的关于普遍联系和世界统一性的原理。这主要表现在两个方向：一是分形论从一个特定层面直接揭示了宇宙的统一图景，同时，分形论所揭示的整体与部分的内在联系方式，是对宇宙普遍联系与内在统一的具体机制的一种揭示。恩格斯曾经把存在于自然、社会和思维中的普遍联系称之为“一幅由种种联系和相互作用无穷无尽地交织起来的画面。”这种联系的普遍机制应包括分形论。二是关于世界物质统一性，分形论可以从共时态与历史性两个维度上展开说明：一方面在自然界中蕴涵着历史的演化与嬗变的信息，另一方面部分与分形整体之间普遍的相似性编织了一张世界统一的网络。
分形论的产生，也是古代哲学思想在近代自然科学中的重现和历代思想家们智慧火花的积累。古老的宗教典籍《华严经》中心主题是所有事物和事件的统一及相互关系。她是大乘佛教的核心，也包括着朴素神秘的分形思想。这在因陀罗网的隐喻中表现很充分。用查尔斯•埃利奥特爵士的话说：据说在因陀罗的天堂里有一张宝石的网，你可以从其中的一个看到反映出来的其他所有宝石。世界上每一个物体也是一样。它不仅是自身，而且包含着其他所有物体，实际也就是其他物体。“在每一粒灰尘中都显现出无数的佛。”
关于因陀罗网的隐喻可以说是东方圣贤在2500多年前提出的一个自相似分形模型。每一部分都与其他部分相似并包含整体的信息的思想在《易经》、《皇帝内经》中也有反映。不仅如此，在西方的思想里也有自相似的影子。例如，威廉•布莱克就有这样著名的诗句：
从一粒砂看整个世界，一砂一世界
从一朵野花看整个天堂。一花一天堂
用手掌把握永远，手中有无限
在一刻钟把握永恒。
在莱布尼兹的哲学中也出现了同样的想象。他把世界看成由基本的物质即“单子”所组成，它们每一个都反映了整个宇宙。莱布尼兹在他的《单子论》中写到：“物质的一部分都可以看成是一个长满植物的花园，是充满鱼的池塘。但是每一棵植物，每一只动物，它们的每一滴汁液也是这样的花园或者池塘。”
这些表述与《华严经》有趣的相似是由于佛教徒对于莱布尼兹的实际影响。因此莱布尼兹通过传教士的译本对于中国的思想和文化有很好的了解。他的哲学很可能受到他所熟悉的朱熹新儒教派的影响。而这个学派的基础之一是华严宗。
宇宙的基本统一性不但是东方哲学的主要特征，而且也是现代物理学最重要的发现之一。在离子物理学中有一派认为，自然界的组成部分彼此组成，或者是自己的组成部分。这种观念是在S矩阵理论中产生的，被称为“靴袢假设”（自己依靠自己的意思）。
杰弗里•丘把这种观念发展成关于自然的“靴袢”哲学。这种哲学使得现代物理学最终放弃了机械世界观，它把宇宙看成是相互关联事件的动态网络。在这张网络中没有任何部分的性质是基本的，它们都可以从其他部分的性质导出，它们相互关联的整体自洽性决定了整个网络的结构。靴袢哲学标志着自然科学的高峰，在相对论中获得了动态的含义，并在S矩阵理论中用反应概率的语言描述出来。这种自然观最接近东方的世界观，从它的一般哲学和物质的具体结构来说都与东方思想协调一致。道教认为，世界上所有现象都是道的一部分，而这种道是自然界固有的。《道德经》中有“人法地，地法天，天法道，道法自然”。这里的道，也可以认为是分形的实质，即自相似性和嵌套性。
由靴袢假说所产生的强子模型常常被概括成这样一句具有鼓动性的话：“每一粒子都由其他所有粒子组成”。这是S矩阵理论的动态和概率的意思上讲，每一个强子都是其他粒子组潜在的“束缚态”，这些粒子组的相互作用形成了所考虑的强子。因此，每一个强子的组成部分，它可以在组成部分之间进行交换，从而成为保持这种结构的力的一部分。在强子的靴袢中，所有的粒子都是彼此以自我一致的方式动态地组成的。从这个意思上讲，可以说互相“包含”着。自相似概念的来源与靴袢假设有关，但只提取了其精髓，而高于原始的靴袢思想。
古代哲学为分形论的诞生作好了思想准备，而分形论的创立则为现代哲学关于普遍联系和统一的原理提供了最新的数理科学根据。同时，这哲学思考为复杂性理论提供了分析工具。
