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秦王暗点兵

来源:不详       更新时间:2010-10-23 13:47:26
 

  秦王暗点兵问题和韩信乱点兵问题,都是后人对物不知其数问题的一种故事化。
  物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。原题为:“今有物不知其数,三三数之二,五五数之三,七七数之二,问物几何?”
  这道题的意思是:有一批物品,不知道有几件。如果三件三件地数,就会剩下两件;如果五件五件地数,就会剩下三件;如果七件七件地数,也会剩下两件。问:这批物品共有多少件?
  变成一个纯粹的数学问题就是:有一个数,用3除余2,用5除余3,用7除余2。求这个数。
  这个问题很简单:用3除余2,用7除也余2,所以用3与7的最小公倍数21除也余2,而用21除余2的数我们首先就会想到23;23恰好被5除余3,所以23就是本题的一个答案。
  这个问题之所以简单,是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。如果没有这个特殊性,问题就不那么简单了,也更有趣儿得多。
  我们换一个例子;韩信点一队士兵的人数,三人一组余两人,五人一组余三人,七人一组余四人。问:这队士兵至少有多少人?
  这个题目是要求出一个正数,使之用3除余2,用5除余3,用7除余4,而且希望所求出的数尽可能地小。
  如果一位同学从来没有接触过这类问题,也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。
  例如我们从用3除余2这个条件开始。满足这个条件的数是3n+2,其中n是非负整数。
  要使3n+2还能满足用5除余3的条件,可以把n分别用1,2,3,…代入来试。当n=1时,3n+2=5,5除以5不用余3,不合题意;当n=2时,3n+2=8,8除以5正好余3,可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。
  最后一个条件是用7除余4。8不满足这个条件。我们要在8的基础上得到一个数,使之同时满足三个条件。
  为此,我们想到,可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2,除以5仍然余3。于是我们让新数为8+15m,分别把m=1,2,…代进去试验。当试到m=3时,得到8+15m=53,53除以7恰好余4,因而53合乎题目要求。
  我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》(1593年)中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法:
  三人同行七十稀,
  五树梅花甘一枝,
  七子团圆正半月,
  除百零五便得知。
  “正半月”暗指15。“除百零五”的原意是,当所得的数比105大时,就105、105地往下减,使之小于105;这相当于用105去除,求出余数。
  这四句口诀暗示的意思是:当除数分别是3、5、7时,用70乘以用3除的余数,用21乘以用5除的余数,用15乘以用7除的余数,然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大,就除以105,所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。
  按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得:
  70×2+21×3+15×4=263,
  263=2×105+53,
  所以,这队士兵至少有53人。
  在这种方法里,我们看到:70、21、15这三个数很重要,稍加研究,可以发现它们的特点是:
  70是5与7的倍数,而用3除余1;
  21是3与7的倍数,而用5除余1;
  15是3与5的倍数,而用7除余1。
  因而
  70×2是5与7的倍数,用3除余2;
  21×3是3与7的倍数,用5除余3;
  15×4是3与5的倍数,用7除余4。
  如果一个数以a余数为b,那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a,余数仍然是b。所以,把70×2、21×3与15×4都加起来所得的结果能同时满足"3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求。一般地,
  70m+21n+15k(1≤m<3,1≤n<5,1≤k<7)
  能同时满足“用3除余m、用5除余n、用7除余k”的要求。除以105取余数,是为了求合乎题意的最小正整数解。
  我们已经知道了70、21、15这三个数的性质和用处,那么,是怎么把它们找到的呢?要是换了一个题目,三个除数不再是3、5、7,应该怎样去求出类似的有用的数呢?
  为了求出是5与7的倍数而用3除余

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