秦王暗点兵_科普之友

1的数，我们看看5与7的最小公倍数是否合乎要求。5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以3余2，35的2倍除以3余2，35的2倍除以3就能余1了，于是我们得到了“三人同行七十稀”。
　　为了求出是3与7的倍数而用5除余1的数，我们看看3与7的最小公倍数是否合乎要求。3与7的最小公倍数是3×7=21，21除以5恰好余1，于是我们得到了“五树梅花甘一枝”。
　　为了求出是3与5的倍数而用7除余1的数，我们看看3与5的最小公倍数是否合乎要求。3与5的最小公倍数是3×5=15，15除以7恰好余1，因而我们得到了"七子团圆正半月"。
　　3、5、7的最小公倍数是105，所以“除百零五便得知”。
　　依照上面的思路，我们可以举一反三。
　　例如：试求一数，使之用4除余3，用5除余2，用7除余5。
　　解我们先求是5与7的倍数而用4除余1的数；5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以4余3，3×3除以4余1，因而35×3=105除以4余1，105是5与7的倍数而用4除余1的数。
　　我们再求4与7的倍数而用5除余1的数；4与7的最小公倍数是4×7=28，28除以5余3，3×7除以5余1，因而28×7=196除余5余1，所以196是4与7的倍数而用5除余1的数。
　　最后求是4与5的倍数而用7除余1的数：4与5的最小公倍数是4×5=20，20除以7余6，6×6除以7余1，因而20×6=120除以7余1，所以120是4与5的倍数而用7除余1的数。
　　利用105、196、120这三个数可以求出符合题目要求的解：
　　105×3+196×2+120×5=1307。
　　由于4、5、7的最小公倍数是4×5×7=140，1307大于140，所以1307不是合乎题目要求的最小的解。用1037除以140得到的余数是47，47是合乎题目的最小的正整数解。
　　一般地，
　　105m+196n+120k(1≤m＜4,1≤n＜5,1≤k＜7)
　　是用4除余m,用5除余n,用7除余k的数；(105m+196n+120k)除以140所得的余数是满足上面三个条件的最小的正数。
　　上面我们是为了写出105m+196n+120k这个一般表达式才求出了105这个特征数。如果只是为了解答我们这个具体的例题，由于5×7=35既是5与7的倍数除以4又余3，就不必求出105再乘以3了。
　　35+196×2+120×5=1027
　　就是符合题意的数。
　　1027=7×140+47，
　　由此也可以得出符合题意的最小正整数解47。
　　《算法统宗》中把在以3、5、7为除数的"物不知其数"问题中起重要作用的70、21、15这几个特征数用几句口诀表达出来了，我们也可以把在以4、5、7为除数的问题中起重要作用的105、196、120这几个特征数编为口诀。留给读者自己去编吧。
　　凡是三个除数两两互质的情况，都可以用上面的方法求解。
　　上面的方法所依据的理论，在中国称之为孙子定理，国外的书籍称之为中国剩余定理
　　

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