趣话策地线_科普之友

当人们走在广阔干坦的旷野上时，如果没有曲径与道路，自然会依据平面上两点之间直线最短的原理，选择连结始点与终点的最短路线。倘若人们是航行在一望无际的茫茫大海或者在万米高空中，也必须去寻找最短路线，这就是曲面上的“直线”，实质上是平面上直线概念的推广。我们把曲面上两点之间的短程线称为测地线。球面上的测地线即是大圆。数学上的定义是：测地曲率处处为零的曲线。
　　
　　根据平面上直线的三个突出性质：(1)方向不变，(2)不弯曲，(3)是两点之间的最短距离，我们可以相应地尽可能接近地推广到测地线上。曲面上任意一点总有一个切平面，它在这点的垂线是这点的法方向。曲面上曲线的每一点总有切线，过该点与切线垂直的平面叫法平面，法平面上有两个互相垂直的方向，称为主法线与从法线。对于测地线，其上每一点的主法线与曲面的法方向平行，也即测地线相对于曲面保持方向不变的性质。
　　
　　曲线的弯曲程度是用曲率来衡量的，直线的曲率为零，曲线的曲率一般不等于零，但总是期望它尽可能小。我们过曲线上任一点作曲面的切平面，并将此切平面上该曲线的正投影在这一点的曲率，称为该曲线在这一点的测地曲率。如果曲面是球面，连结两点的下面曲线有大圆(该平面过球心)和小圆(该平面过此两点同一纬度的纬线圈)，显然是：大圆的曲率小，小圆的曲率大。因此球面上的测地线是大圆弧。因大圆弧在相应的球面切平面上的正投影是直线，故大圆弧的测地曲率处处为零。对于一般的曲面上的曲线，只有当其测地曲率处处为零时才是测地线。在一个任意曲面上，两点之间可以用任意长的曲线来连结，因而不存在最长线，但测地线也不一定就是最短线。以球面为例，连结两点的大圆弧可分成短弧和长弧两条，只有短弧才是最短线。对于一般曲面，已能证明：两个无限接近的两点之间存在唯一的一条测地线。但对于比较复杂的曲面，问题就不简单了。在20世纪30年代，已证明：在一个凸闭曲面上至少存在三条没有自交点的封闭测地线。而在一般的紧闭曲面上，则通常认为可以存在无穷多条闭测地线。