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手动开方

来源:不详       更新时间:2011-7-29 21:30:13
 

  1.将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段,用撇号分开,分成几段,表示所求平方根是几位数;小数部分从最高位向后两位一段隔开,段数以需要的精度+1为准。
  
  2.根据左边第一段里的数,求得平方根的最高位上的数。(在右边例题中,比5小的平方数是4,所以平方根的最高位为2。)
  
  3.从第一段的数减去最高位上数的平方,在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。
  
  4.把第二步求得的最高位的数乘以20去试除第一个余数,所得的最大整数作为试商。(右例中的试商即为[152/(2×20)]=[3.8]=3。)
  
  5.用第二步求得的的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数,试商就是平方根的第二位数;如果所得的积大于余数,就把试商减小再试,得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。(即3为平方根的第二位。)
  
  6.用同样的方法,继续求平方根的其他各位上的数。用上一个余数减去上法中所求的积(即152-129=23),与第三段数组成新的余数(即2325)。这时再求试商,要用前面所得到的平方根的前两位数(即23)乘以20去试除新的余数(2325),所得的最大整数为新的试商。(2325/(23×20)的整数部分为5。)
  
  7.对新试商的检验如前法。(右例中最后的余数为0,刚好开尽,则235为所求的平方根。)
  
  如遇开不尽的情况,可根据所要求的精确度求出它的近似值。在《九章算术》里就已经介绍了上述笔算开平方法。
  
  《九章算术》少广章:
  
  第十二题:今有积五万五千二百二十五步。问为方几何?
  
  答曰:二百三十五步。
  
  开方术曰:
  
  置积为实。借一算。步之。超一等。议所得。以一乘所借一算为法。而以除。除已。倍法为定法。其复除。折法而下。复置借算步之如初。以复议一乘之。所得副。以加定法。以除。以所得副从定法。复除折下如前。
  
  若开之不尽者为不可开,当以面命之。若实有分者,通分内子为定实。乃开之,讫,开其母报除。若母不可开者,又以母乘定实,乃开之,讫,令如母而一。
  
  以《九章算术》中求55225的开方为例,图解说明。
  


  于是,235即为所求。
  
  手动开立方
  
  1.将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组;
  
  2.根据最左边一组,求得立方根的最高位数;
  
  3.用第一组数减去立方根最高位数的立方,在其右边写上第二组数;
  
  4.用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数,得出试商;
  
  5.把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边,观察其和是否大于余数,若大于,就减小试商再试,若不大于,试商就是立方根的第二位数;
  
  6.用同样的方法,继续求立方根的其他各位上的数。对新试商的检验亦如前法。

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