会“金蝉脱壳”的数

数论中有许多题材使人沉湎其中，往往乐而忘返。所以，这门学科自古以来，就吸引着人们去探索。通俗性与公证性是数论的两大特点。这就是说，有些题目，虽然其推证方法与导出过程极其复杂深奥，可是它的结果却是人人都能理解解、都能欣赏、都能鉴别的。这就象磁铁一样，有一种无形的吸引力，把越来越多的业余爱好者吸引了过去。现在请看两组自然数，每组各有三个数，每个都是六位数字。把这两组数分别相加，就会发现它们的和是完全相等的。即：123789+561945+642864＝242868+323787+761943这样的性质，自然算不上什么稀罕。可是要知道它们各自的平方和也是相等的，那就是说：1237892+5619452+6428642=2428682+3237872+7619432如果您不信，就算一算吧！算过之后，你也许会伸出舌头，说一声：“妙呀！”且慢，真正的妙事还在后头呢！请把每个数的最左边一位数字抹掉，你会发现，对剩下的数来说，上述的奇妙关系仍然成立，即：23789+61945+42864＝42868+23787+61943237892+619452+428642=428682+237872+619432事情真怪。让我们再抹掉每个数最左边的一位数字试试看吧！通过计算，上述性质依然保存着：3789＋1945+2864＝2868+3787+194337892+19452+28642=28682+37872+19432现在我们真索性一不做、二不休，继续干下去了。我们发现，尽管每次抹掉最左边的一位数字，可是这种奇妙的性质总是“原封不动”地保存下来：789+945+864＝868+787+9437892+9452+8642=8682+7872+943289+45+64＝68+87+43892+452+642=682+872+432直到最后剩下个位数，这一“性质”依旧“巍然不动”：9+5+4＝8+7+392+52+42=82+72+32这就像“金蝉脱壳”一般，脱到最后一层，金蝉却还是货真价实的金蝉，其“个性”可谓“至死不变”矣。现在我们还是从原来的两组数出发，可是这一次却“反其道而行之”，即指把两组数的数字逐个逐个地从右边抹掉。经过这样剧烈变动，这种性质总不见得保持下来了吧？可是，与人们预料的相反，这种性质居然还是保存了下来：12378+56194+64286＝24286+32378+76194123782+561942+642862=242862+323782+761942…………直到最后抹得只剩下个位数时也是如此：1+5+6＝2+3+712+52+62=22+32+72这类问题在数论上叫做“等幂和问题”，在国内外，它一直吸引着大批爱好者，但至今仍未能彻底解决。