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威力无比的反证法

来源:不详       更新时间:2011-8-19 10:54:08
 

  反证法一节,可以说是一个难点。因为以前我们的证明,所采用的方法均为直接证法,由已知到结论,顺理成章。而对于属于间接证法的反证法,许多同学正是难以走出直接证法的局限,从而不能深刻或正确理解反证法思想。其实,反证法作为证明方法的一种,有时起着直接证法不可替代的作用。下面这两则故事,对于我们正确理解反证法很有帮助。
  
  故事一:南方某风水先生到北方看风水,恰逢天降大雪。乃作一歪诗:“天公下雪不下雨,雪到地上变成雨;早知雪要变成雨,何不当初就下雨。”他的歪诗又恰被一牧童听到,亦作一打油诗讽刺风水先生:“先生吃饭不吃屎,饭到肚里变成屎;早知饭要变成屎,何不当初就吃屎。”
  
  实际上,小牧童正是巧妙运用了反证法,驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律,只强调结果,不要变化过程的形而上学的错误观点:假设风水先生说的是真理,只强调变化最后的结果,不要变化过程也可,那么,根据他的逻辑,即可得出先生当初就应吃屎的茺唐结论。风水先生当然不会承认这个事实了。那么,显然,他说的就是谬论了。
  
  这就是反证法的威力,一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道,还其人之身”的反证法迎刃而解了。
  
  如果说这则故事还尚不能让我们明白反证法的思路的话,不妨再看看故事二。
  
  故事二:王戎小时候,爱和小朋友在路上玩耍。一天,他们发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上,去摘李子,独有王戎没动。等到小朋友们摘了李子一尝,原来是苦的!他们都问王戎:“你怎么知道李子是苦的呢?”王戎说:“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这树上却结满了李子,所以李子一定是苦的。”
  
  这是很著名的“道旁苦李”的故事。实质上王戎的论述,也正是运用了反证法,我们不妨把这则故事改编成象几何题目中的“已知、求证、证明”再和反证法的步骤进行对比,大家就明白了。
  


  至此,反证法的思路及步骤就一目了然了。我们在以后运用反证法时,可对照此例。则反证法可运用自如矣。需要说明的三点是:一是反证法适用于证明一些用直接证法比较困难的命题;二是使用时,第一步是“假设命题的结论不成立”,亦可理解成假命题结论的反面成立。但此时,要考虑结论的反面可能出现的情况。如果结论的反面只有一种情况,那么只须否定这种情况就足以证明原结论是正确的;如果结论的反面不止一种情况,那么必须把各种可能情况全部列举出来,并且一一加以否定后,才能肯定原结论是正确的;三是步骤第二步“从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾”其中的矛盾,可以是和已知矛盾,也可以和定义、公理、定理、性质等矛盾,这样都足以说明假设错误,原命题正确。
  
  例.求证:在一个三角形中,不能有两个角是钝角
  
  已知:∠A,∠B,∠C是三角形ABC的三个内角。
  
  求证:∠A,∠B,∠C中不能有两个钝角。
  
  证明:假如∠A,∠B,∠C中有两个钝角,不妨设∠A>900,º且∠B>900,则∠A+∠B+∠C>1800。这与三角形和定理矛盾。故
  
  ∠A,∠B均大于900不成立。
  
  所以,一个三角形不可能有两个钝角。

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