重庆市南开中学杨飞
电视台栏目中有一个猜商品价格的游戏。规则如下：给出一种商品让参赛者猜价格，主持人给出提示语"高了""低了"。例如参赛者猜某商品价格为100元，主持人说"高了"，参赛者又猜50元，主持人说"低了"，参赛者又猜80元，主持人说"低了"。这样一直猜下去，直到猜中为止。时间规定为1分钟，谁猜中的商品价格最多谁就获胜，并且商品归参赛者所有。真是一种有趣的游戏。
下面我们提出一个问题：如果某参赛者已知道某商品价格X为a~b中的某一整数（即X∈a,a+1,a+2,…,b）,但不知道其真正价格，参赛者应当如何猜才能最快猜出商品价格？也就是说，无论X是集合a,a+1,a+2,…,b中哪一个整数，用最佳方法去猜，猜中商品价格所猜的次数最多只需多少次？
我们先对特殊情况进行探讨
（1）当X∈1时，（1=2'-1），显然猜中价格所需次数最多为1次。
（2）当X∈1，2时，（2=2'），显然猜中价格所需次数最多为2次。
（3）当X∈1，2，3时，（3=22-1）。如第1次猜4，如未猜中，则X∈1，2，由（2）知最多还需猜2次才能猜中。（如第1次猜1，结论与此同）。第1次猜2，如未猜中，如主持人说"高了"（或"低了"），那么第2次只需猜1（或3）即可。（可见此种猜法最佳）。由此可知，当X∈1，2，3时，最多只需猜2次。
（4）当X∈1，2，3，4时，（4=22）。如第1次猜4，如未猜中，则X∈1，2，3。由（3）知最多还需猜2次才能猜中。如第1次猜3，如主持人说"低了"，则X=4。如主持人说"高了"，则X∈1，2。由（2）知最多还需猜2次才能猜中。（此猜法为最佳猜法）。
如果第1次猜1或者，结论与上同。
综上可知，当X∈1，2，3，4时，最多只需猜3次。
（5）当X∈1，2，3，4，5时，（5=22+1）。
如第1次猜5，如未猜中，则X∈1，2，3，4时。由（4）知最多还需猜3次才能猜中。
如第1次猜4，如未猜X∈5或X∈1，2，3。由（1）（3）可知最多还需猜2次就可猜中。（此猜法最佳）。
如第1次猜3，如未猜中，则X∈1，2或4，5。由（2）知最多还需猜2次就可猜中。
如第1次猜1或2与第1次猜5或4结论相同。
综上可知，当X∈1，2，3，4，5时，最多只需猜3次。
类似上面的证法我们可以知道：
当X∈1，2，3，4，5，6时，（6=22+2），最多只需猜3次。当X∈1，2，3，4，5，6，7时，（7=23-1），最多只需猜3次。
从上面这些特例看出：当X∈1时最多只需猜1次；当X∈1，2，…，∝时（2'≤∝≤22-1）时，最多只需猜2次；当X∈1，2，3…，∝（22≤∝≤23-1）最多只需猜3次。于是我们猜想：
当X∈1，2，3…，∝（2n-1≤∝≤2n-1，∝∈N）时，用最佳方法猜最多只需猜几次。
证：（1）当n=1，2，3时，由前面的探讨可知猜想成立。
（2）假设当n=k时，猜想成立。即当X∈1，2，3…，∝（2k-1≤∝≤2k-1，∝∈N）时，用最佳方法猜最多只需K次就可猜中商品价格。
当n=k+1时，X∈1，2，3…，∝（2k≤∝≤2k+1-1，∝∈N）。我们第1次猜2k，如未猜中，则X∈1，2，…，2k-1=A或X∈2k+1,2k+2,…,∝=B。因∝-2k∈[o,2k-1]，可见集合A有2k-1个元素，集合B的元素不多于，2k-1个。由归纳假设可知，最多还需猜K次就可以集合A或B中猜中商品的价格。
所以当n=k+1时猜想也成立。
由（1）（2）可知，猜想成立。
从上面这些特例和猜想的证明可以看出：对于商品价格X∈1，2，3…，∝（2n-1≤∝≤2n-1，∝∈N），最佳猜价方[1] [2] 下一页
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