1849年，波林那克提出孪生素生猜想（theconjectureoftwinprimes），即猜测存在无穷多对孪生素数。
孪生素数即相差2的一对素数。例如3和5，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数。
孪生素数是有限个还是有无穷多个?这是一个至今都未解决的数学难题.一直吸引着众多的数学家孜孜以求地钻研.早在20世纪初,德国数学家兰道就推测孪生素数有无穷多.许多迹象也越来越支持这个猜想.最先想到的方法是使用欧拉在证明素数有无穷多个所采取的方法.设所有的素数的到数和为:
S=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...
如果素数是有限个,那么这个倒数和自然是有限数.但是欧拉证明了这个和是发散的,即是无穷大.由此说明素数有无穷多个.1919年,挪威数学家布隆仿照欧拉的方法,求所有孪生素数的倒数和:
B=(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+...
如果也能证明这个和比任何数都大,就证明了孪生素数有无穷多个了.这个想法很好,可是事实却违背了布隆的意愿.他证明了这个倒数和是一个有限数,现在这个常数就被称为布隆常数:B=1.90216054...布隆还发现,对于任何一个给定的整数m,都可以找到m个相邻素数,其中没有一个孪生素数.
1966年，中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果：存在无穷多个素数p，使p+2是不超过两个素数之积。
若用p(x)表示小于x的孪生素数对的个数.下表是1011以下的孪生素数分布情况:
p(x)与x之间的关系是什么样的呢?1922年,英国数学家哈代和利托伍德提出一个数分布的猜想:
p(x)≈2cx/(lnx)2
其中常数c=(1-1/22)(1-1/42)(1-1/62)(1-1/102)...
即,对于每一个素数p,计算(1-1/(p-1)2),再相乘.经过计算得知c≈0.66016称为孪生素数常数.这个猜想如上所述有可能是正确的,但是至今也未获证明.
下表是目前所发现的最大的前二十个孪生素数:
回文素数是非常有意思的素数,最小的是131,还有孪生素151,181,191,313,353,373,383,757,787,797等等.下表列出了最近发现的最大的十个回文素数:
“孪生素数猜想”与著名的“哥德巴赫猜想”是姐妹问题，它也是现代素数理论中的中心问题之一，谁能解决它（不论是证明或否定），必将成为名扬千古的历史人物。
