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奇妙的再植数

来源:不详       更新时间:2011-10-19 10:32:15
 
在自然数里,会有好多巧妙的数字规律,让人感到奇异有趣.如142857×4=571428,76923×3=230769,式子中呈现了这样一种规律:一个数的倍数仍然是这个数字的循环排列,我们从中欣赏到一种秩序对称的美妙。如果给这类数下一个定义,即就是一个自然数A乘以一个自然数K,其积是A的各位数字的循环排列,那么称A是关于K的再植数。再植数的概念早在80年代的一本《数学通讯》月刊中就被提了出来。现在,我们要对再植数的范围、性质,作进一步的探讨,目的是希望大家对这类趣味数学有一个系统的了解。
  
  怎样的一个数会成为我们探讨的再植数,这是我们首先关心的问题,由于再植数乘以一个数会成为这个数字的循环数,因此再植数与循环小数有着密切关系。我们知道:,,,,,,我们看到,分别乘以2,3,4,5,6以后获得的数的组成同完全一样,只是次序有了变化。如果我们把142857写在圆周上,我们看到(=1,2,3,4,5,6)恰好是142857的循环变化。
  
  但不是所有的循环小数的循环节都是我们找的再植数,如,123并不是再植数。
  
  为此我们考察一些质数的倒数:,,,,,……。
  
  (=1,3,4,9,10,12)是的循环变化,(=2,5,6,7,8,11)是153846的循环变化。而(=1,2,……17)是0588235294117647的循环变化。
  
  从中可见,循环小数的循环节长度与再植数密切相关。的循环节为1,为6,为2,为6,为16。当一个质数的倒数的循环节大于2时,其循环节与再值数相关.
  
  由以上探讨,我们可以得到下列再植数,
  
  (1)142857×k,(k=1,2,3,4,5,6);
  
  (2)153846×k,(k=1,3,4);
  
  (3)076923×k,(k=1,3,4,9,10,12);
  
  (4)0588235294117647×k,(k=1,2,3,……16);
  
  (5)052631578947368421×k,(k=1,2,3,4,……18);
  
  (6)0434782608695652173913×k,(k=1,2,3……22);
  
  (7)0689655172413793103448275862×k,(k=1,2,3,……28);
  
  (8)32258064516129×k,
  
  (k=1,2,4,5,7,8,10,14,16,18,19,20,25,28);
  
  96774193548387×k,(k=2,3,4,5,7,8,9,10)
  
  (9)027×k,(k=1,10,26);
  
  (10)02439×k,(k=10,16,18,37);
  
  04878×k,(k=10,16,18);07317×10。
  
  这些再植数,是我们考察7至41内的10个字数的倒数得到的,如果继续探讨下去,可发现再植数有无穷多个。
  
  再植数有许多奇妙的性质:
  
  1、与9的联系:142857×7=999999,142+857=999,14+28+57=99,1+4+2+8+5+7=27,而2+7=9。这种特点对于142857的倍数也成立,例如142857×285=40714245,245+714+40=999。
  
  2、待合再值数,把再值数142857×7以上的数字时,也会出现一些有趣的现象。例如,8×142857=1142856,首尾相加后得142857,9×142857=1285713,首尾相加后得285714,……13×142857=1857141,首尾相加后得857142。14×142857=1999998,首尾相加后得999999。我们把上述现象称为待合再植数,待合再植数可归纳如下:
  
  结论1:对于自然数m,若m≡i(mod7)i=1,2,3,4,5,6。那么m×142857的积的首几位数取下来加到末

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