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巧断金链

来源:不详       更新时间:2011-11-5 9:20:37
 

  一位来自阿肯色州的年轻太太格罗丽亚,正在加利福尼亚州旅行.她想在旅馆租用一个房间,租期一周.办事员此时正心绪不佳。办事员:"房费每天20元,要付现钱.格罗丽亚:"很抱歉,先生,我没带现钱.但是我有一根金链,共7节,每节都值20元以上.办事员:"好吧,把金链给我."格罗丽亚:"现在不能给你.我得请珠宝匠把金链割断,每天给你一节,等到周末我有了现钱再把金链赎回.办事员终于同意了,但格罗丽亚必须决定如何断开金链的方法.格罗丽亚:"我该三思而行,因为珠宝匠是按照他所切割和以后重新连接的节数来索价的.格罗丽亚想了一下,悟到她不必把每一节都割断,因为她可以把一段段金链换进换出,以这种方式来付房费.当她算出需要请珠宝匠割断的节数时,她几乎不能自信。你想一想需要割开多少节?
  
  只需要割开一节。这一节应是从一端数起的第三节.把金链断开成1节,2节,4节这样三段后就能以换进换出的方式每天付给办事员一节作为房费。
  
  啊哈!领悟到下列两点才能解题.第一,至少需要有1节,2节,4节这样三段(即其节数成二重级数的一些段),这样才能以各种不同的组合方式组成1节,2节,3节,4节,5节,6节和7节.我们在药品混乱问题中已经知道,这就是作为二进制记数法基础的幂级数.
  
  第二,只需要割开一节就可以把金链分成符合要求的三段.关于这个问题,若把金链的长度增加,则可以想出一些新的问题.例如,假设格罗丽亚有一根63节的金链,她想把金链割开,以上面那种方式来付63天的房费(价格不变).要达到此种目的只需要割开三节.你想出来了吗?你能否根据金链的不同长度设计一个通用的解题程序,要求分割开的节数为最少?
  
  有一个有趣的变相问题:若所经手的n节首尾相连的闭合回路,例如说格罗丽亚有一串金项链,由79节相连而成,若每天房费为一节,试问最少需要分割开几节才能支付79天房费?
  
  所有这些问题都跟二进制记数法有密切的关系.比如格罗丽亚的63节金项链如何分割?只要将63化成二进制表示:等于"111111"即63=1+2+4+8+16+32只要将从第二节开始的两节割开,再将从第八节开始的八节割下来,和从第32节开始的32节割下来即可,这样就有了从1,2,3,4,5,6,直到63的所有节数.一般地,若有n节金链,n是形如2k-1类型的数,将n化成二进制表示,再将所有"1"的位置所代表的2的幂的数相间隔地割开即可达到目的.但是对于其他任意类型的数,却不能奏效,比如对于格罗丽亚的79节金项链,79的二进制记数法表示为"1001111".即79=1+2+4+8+0+0+64,这样从1到15都能表示,可是从16到63都没法表示,我把这个问题做到这里,也一时糊涂起来,但这个问题毕竟不是很复杂,咱们也学一学闵科夫斯基在课堂上口出狂言要解决四色问题的劲头,摸索着来解决一把.咱们可以这样:你不是要求节数最少吗?假设n=a+b其中a是已经找到的最大的那一节数,b是比n小的已经解决了的金链问题,由于b已经解决,因此b的拆分能够表示从1,2,3,...b-1,b的所有金链节数,而再大一些的数就不能够表示了,比如b+1,所以必须要a参加进来,如果n是奇数,可令a=b+1,这样n=2b+1,所以b=(n-1)/2,a=(n+1)/2,这样就找到了最大的一节的节数a,然后对b=(n-1)/2继续应用如上的办法,即可解决问题.如果n是偶数,可令a=b,这样虽然a本身不能表示出b+1,但是可以从b的拆分中拿出一个1来(这个1是必须存在的,因为要表示从1,2,3,...b-1,b的所有数)与a组成a+1也就是b+1.所以n=a+b=2a=2b,a=b=n/2.这样也找到了n为偶数时最大的一节金链的节数.对于b继续如上的过程,就可以找到全部应该断开的金链节数,我算出了从1到15的所有拆分如下:
  
  1=1
  
  2=1+1
  
  3=1+2
  
  4=1+1+2
  
  5=1+1+3
  
  6=1+2+3
  
  7=1+2+4
  
  8=1+1+2+4
  
  9=1+1+2+5
  
  10=1+1+3+5
  
  11=1+1+3+6
  
  12=1+2

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