奇数偶数大家都知道吧，不是说哈，如果什么是奇数什么是偶数你都搞不清楚，就去面壁吧……看起来数的奇偶性实在是很简单，似乎没有什么可研究的，不过绝非如此，有时候利用数的奇偶性可以快速解决一些难题。首先我们证明下面一个很简单的结论。
一个非完全平方的自然数一定有偶数个正约数，包括1和他本身。反过来说，如果一个自然数有奇数个正约数，当且仅当它是一个完全平方数。
这个结论很好证明吧，也很好理解，如果不是完全平方数，一个约数一定有另一个约数配对。比如6的正约数有1,2,3,6，有1比如有6，有2比如有3，而且都还不相同。完全平方数就要减掉一个重复的平方根，比如9的正约数就是1,3,9三个。
搞懂这个结论，我们可以非常快地解决下面一个题
例题：有一百盏电灯排成一行，从左至右分别标记着1、2、3、……、100，每一盏灯都有一根拉线开关，一开始的时候灯都是关上的。还有100个人，第一个人进来将所有能被1整除的灯上的开关拉一下；第二个人进来又将所有能被2整除的灯的开关拉一下；以此下去，第一百个人就将所有能被100整除的灯的开关拉一下。现在问，最后有哪些灯是亮着的？
这个题若要使按照常规思维的话就很麻烦，第一个人进来将所有的灯开启了，第二个人进来是把所有偶数编号的灯关上了，第三个人是把能被三整除的开上了，但是刚刚才关上的6现在又开启了……太麻烦了这个。实际上若我们换一个角度的话这题就很简单了。正确的思路是：凡是被拉过偶数次的灯最后就是关了的，被拉过奇数次的灯最后就是亮着的。一个标号为K的灯，如果K有t个不同的正约数，那么这盏灯就被拉了t次，所以最后亮的灯，就是约数个数为奇数的灯，根据我们一开始说到的结论，只有完全平方数才有奇数个，即只有十盏灯是亮着的，他们的编号是：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100.
关于奇数和偶数的利用，还有非常多，其实之所以有这么多用处，很大一部分原因他和“2”相联系，这和中国古老的阴阳说很有关系，任何事物都有相对应的两面。这个理论直接产生了二进位制，成为计算机学科的基础。要想充分了解自然数奇偶性的应用，可以读读常庚哲先生的书——《奇数与偶数》.
文章来源：学夫子数学博客
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