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用四边形面积公式证明巧证勾股定理
来源：不详       更新时间：2012-4-30 20:31:19
用拼图证明四边形“等周问题”
判定四边形为矩形的口诀
六边形与自然界
 
作者：学夫子
　　
　　在《三角形面积公式的推广》一文中，我们得出了下面的结论：
　　
　　对角线互相垂直的四边形(包括凸四边形、凹四边形)，其面积等于两条对角线乘积的一半。其特殊的一种情况就是三角形。包括下面三种情况：
　　
　　具体请参考该文。今天我们来利用这个性质，证明我们耳熟能详的勾股定理，你将会发现他是那么地简单：
　　
　　对于直角三角形ABC，其中C为直角，我们对三角形ABC绕C点旋转90°至A'B'C。如下图所示：
　　
　　现在我们考察四边形AB'BA'的面积S，也就是图中红色线条框中的部分。这是一个凹四边形，两条对角线B'A'和AB垂直，根据我们前面的结论：
　　
　　S=1/2×B'A'×BA=1/2×c²
　　
　　从另一个角度来讲，四边形AB'BA'的面积可以分成两部分：△ACA'和△BCB'，所以：
　　
　　S=S(△ACA')+S(△BCB')=1/2×a²+1/2×b²
　　
　　故有1/2×a²+1/2×b²=1/2×c²。
　　
　　从而有a2+b2=c2。勾股定理得证。
　　
　　相对于其他方法，此方法来得比较巧妙，多多品味，便知其味。（来源：学夫子数学博客）

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