非平凡的镜像相似性

作者：学夫子
　　
　　欧氏几何中，与某三角形全等的所有三角形，如果想用这三角形内部不变而位置连续运动的方式（平移或旋转或二者结合）全部给出，那么，空间就必须是三维的。因为对称全等或镜像反射全等的三角形，无法在二维空间里通过连续运动重合。
　　
　　欧几里德平面中几何中，三角形的全等必然包含平移、旋转以及镜像反射全等三类。实际上，如果不承认欧氏平面空间的三角形镜像反射全等，那么，《几何原本》中的“驴桥定理”，即等腰三角形的两底角相等，就无法被证明。欧几里德证明驴桥定理的繁琐方法，也是为强调三角形的这种轴对称或镜像对称全等的特殊性。它前面的有关三角形全等的命题，欧几里德是用平面内运动的方式得到的。
　　
　　进一步，我们也可将三角形的相似，分为平移相似、旋转相似和镜像反射相似。
　　
　　我们还可以发现，平移相似是一种平凡的相似性，旋转相似是一种较平凡的相似性，而反射相似是一种非平凡的相似性。因为许多重要的定理（非显然的正确命题）与反射相似三角形相关，找到反射相似三角形，可以使这类命题快速得证。
　　
　　较详细的内容我用图来说明：
　　

　　图中各镜像相似三角形的变换关系图：
　　

　　细节举例之一：角度和的正弦余弦公式几何推导图示
　　坐标系旋转变换公式推导类似。
　　

　　勾股定理的简单快速证法，关键也是构造反射相似三角形：
　　

　　首先，作者是个细心的人，发现了在不同种类的相似下，镜像相似的运用更多一些，很多定理都与之相关，如果将之看成一种变换的话，那么他们就分别对应着平移变换，旋转变换和镜像变换，在中学范围，仅仅局限于平移变换和旋转变换，镜像变换就无法提及，这个小发现对于理解镜像变换是个非常好的例子。学夫子不能对此做更详细的说明，实在本人水平实在浅薄，将此文发于此，希望引起更多的争鸣。（来源：学夫子数学博客）