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数学归纳法的几个趣味数学题

来源:不详       更新时间:2012-5-12 9:51:27
 
作者:学夫子
  
  数学归纳法是我们常用的数学证明方法。利用它不仅可以拿来证明命题,有时候还可以用来求解命题,但是一旦运用不当,便会得出非常荒唐的结论,而这种错误往往隐藏得比较隐秘,不容易发现,比如“用数学归纳法证明2n=1"一文里提及的内容,相对于那些到处可见的”证明5=6“啊啥的,这种”错误“对于我们或许更有意义,比如今天介绍给大家的两个趣味问题,也是根据数学归纳法得出的,你能发现这中的错误吗?当然,我们必须要了解”广义上的数学归纳法“。
  
  问题1:用数学归纳法证明”任意n个人,他们一定全部在同一天出生“,证明方法如下:
  
  证明:当n=1时,命题成立
  
  假设当n=k时,命题成立,那么当n=k+1时
  
  对于1~k+1这几个人,由假设知道,1~k这k个人是在同一天出生,2~k+1这k个人也是同一天出生,所以最终,1~k+1这k+1个人都是同一天出生,命题得到证明。
  
  与之完全相同的问题便是下面一个:
  
  问题2:用数学归纳法证明”任意n条直线,他们一定全部相交于一点“,证明方法如下:
  
  证明:当n=2时,命题成立
  
  假设当n=k时,命题成立,那么当n=k+1时
  
  根据假设。1~k这k条直线相交于一点,2~k+1这k条直线也相交于一点,从而1~k+1这k+1条直线也相交于一点,命题得证。
  
  证明显然是错的,这个不容置疑,那么,他到底错在哪里?问题就在于,证明方法是基于”1~k这k个人是在同一天出生,2~k+1这k个人也是同一天出生“这两个命题的交集而来的,所以这里的k必然是大于1的,因为如果k=1的话,那根本就不会有2号人存在,也就是说,这个证明的前提是k大于1,但是我们给出的基础命题是”k=1“时成立,这就没有了往后推论的基础。除非你能证明”任意两个人,命题成立“,但是这明显无法证明。
  
  这种”基础不够“的错误在数学归纳法里经常存在,出现这种问题的原因,除了命题人的故意为之,还有就是当我们对所征命题的准确性确信无疑的时候,就会错误滴认为,只要我能得到正确的结论,那我的证明就一定正确。因为他认为,错误的方法一定不可能得到正确的结果,而往往错误的方法也能得到正确地结果,不是因为”巧合“,而是因为你自己故意想他能得到正确的结论,所以你搭了很多桥梁。比如下面这一个问题:
  
  问题3:用数学归纳法证明”斐波拉契数列的通项公式为:
  
  证明:当n=0时,命题成立
  
  假设对一般的n=1,2,3,4,……k时命题成立,那么当n=k+1时:
  
  于是命题得证。这里的问题也是一样,证明中需要用到n=k-1和n=k时成立,但是我们的基础命题只有n=0时成立,缺乏基础,这命题自然不能往后推,不然的话,按照上面的方法,下面的数列也能得出和菲波拉契数列一样的通项公式:
  
  所以看来,数学归纳法里的错误,更多是因为“基础不够”,本来只有n=1时候的基础命题,证明过程中却运用了两个以上的n成立,这便失去了数学归纳法往后递推的基础,错误也就在所难免。(来源:学夫子数学博客)

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