空族的交并与包罗万象的集合

作者：学夫子
　　
　　我们知道集合有交集和并集两种运算，我们当然没有理由只限于两个集合，我们同样可以讨论多个集合之间的交集并集运算，由此我们有“集族”的概念。这个概念在中学里没有接触过，但是事实上是很简单。
　　
　　所谓集族，就是以集合为元素的集合。这话不绕吧，只要一个集合的元素也是一个集合的时候，这个集合就称之为集族，大家可以参考李彦宏造的那个东西。现在我们定义集族的交集并集：
　　
　　集族K的交集={x|对于所有的A∈K，x∈A}
　　
　　集族K的并集={x|至少有一个A∈K，使得x∈A}
　　
　　对于一般的集族，上面的定义没有任何问题，如果集族K里面的元素是空集，这个也没有问题。问题就在于，当集族里面根本就没有集合，也就是这个集族为空族的时候，这个就比较麻烦，空族的交集和并集是什么样的？我们就来细细品读集族交并的定义。
　　
　　如果x是空族k并集的元素，那么x必须满足下面的性质：
　　
　　对于所有的A∈K，x∈A…………①
　　
　　显然这个没有什么问题，因为不存在满足要求的k，所以论断①是一个假论断。也就是说，满足条件的元素x是不存在的，那么我们完全就可以说：
　　
　　空族的并集等于空集。
　　
　　再回过头来看看空族的交集，如果x是空族k交集的元素，那么x必须满足下面的性质：
　　
　　若A∈K，那么x∈A。………………②
　　
　　这个是一个“若p则q”的形式，这个是麻烦点，因为并集的情况是一个简单论断，而交集的情况是一个若p则q形式的论断。我们可以看到，论断②的假设本身就是错的，那么论断②是一个虚真论断。这种假设是错的论断无论在什么情况下都是对的。也就是说，任何一个元素x都满足空族交集的性质。那么不可思议的结论就出现了：
　　
　　任何元素x都是空族交集的元素！
　　
　　那么这个元素应该在哪个集合里面呢？因为任何元素都在这个集合里面，那么这个集合就必须要包罗万象，若我们事先确定一个包罗万象的集合M，那么空族的交集=M。
　　
　　这玩意初看的时候确实很难理解，不过若理解虚真论断的结论，这还是蛮好理解的。什么都没有的并集还是什么都没有，但是什么都没有的交集却是什么都有……（有点像佛界的话了，这也正是我把这篇文章归为数学启示的原因。还有那个“虚真论断”这个词我总是想起电视剧里的“虚真道长”）
　　
　　这个不算问题，问题在于，这个“包罗万象”的集合存在不？有人说是宇宙，而宇宙是一个包罗万象的集合么？这本身就是一个悖论：
　　
　　若是，那谁来包容宇宙这个对象？
　　
　　若不是，那谁来包容万象？（来源：学夫子数学博客）