数学、分形与龙

作者：佚名
　　
　　分形已被归为自然的几何。虽然自然界里有殴几里得物体的丰富例子（诸如六角形、圆、立方体、四面体、正方形、三角形、……）。但许多随意性的自然现象似乎难于由欧几里得的方法产生。对这类情况，分形给出了最好描述。我们知道，欧几里得几何被大量用于描述像晶体、蜂巢之类的物体，但人们很难在欧氏几何中找到表述诸如炒玉米花、烘烤物品、树皮、云朵、姜根和海岸线等对象的方法。欧几里得几何发祥于古代的希腊（约于公元前300年，欧几里得写下了《几何原本》），而分形出现的时间则要迟至19世纪。事实上，分形这个术语在1975年B·曼德勃罗之前还没有被造出来。分形有两种类型，一是几何分形，二是随机分形。分形的性质是多样的。例如，在平面上分形的维数是在1与2之间的分数，而在空间里分形维数在2与3之间。在分形的世界里，我们不能把它说成是2维或3维的，而应说它是1.75维或2.3维等等。在分形几何里海岸线的长度被认为是无限的，因为每个小小的海湾和沙滩都被测量，而这样的海湾和沙滩的数量在不断地变化，就像在龙的曲线构造里那样。分形有许多形式和用途。一组分形具有以下性质：即它的精细部分不会损失，放大后具有与原先相同的结构。下图所示的例子是塞沙洛曲线。
　　
　　分形的新应用不断被发现。由于分形能够用递推函数加以描述（斐波那契序列就是一个递推的例子，它的每个项都等于前两项的和），所以用计算机生成分形是理想的。像电影《星际旅行Ⅱ：可汗的愤怒》中新行星的诞生以及《吉地的返回》中行星在空间飘浮等壮观的场面，就是由彼克沙公司在一台计算机上完成的（1986年）。分形还能用于描述和预示不同生态系统的演化（如乔治亚洲奥克芬诺沼泽地和生态变化。注：H·哈斯汀是纽约豪弗斯塔大学的一名数学家。他用分形作为奥克芬诺基沼泽地的生态系统的动态模型。将植物及丝柏斑块的地图与随机分形的地图相比较。结果，无需广泛的历史资料便能得出，在物种竞争中怎样的种类能够残留下来）。
　　
　　事实上，生态系统用分形来处理已成为当前的一种主要手段，它对于确定酸雨的扩散和研究其他环境污染问题也有重要的作用。分形打开了一个完全崭新和令人兴奋的几何学大门。这一新的数学领域，触及到我们生活的方方面面，诸如自然现象的描述，电影摄影术、天文学、经济学、气象学、生态学等等。分形能够产生具有出人意料的古怪物体。它的应用是如此广泛，它的特性是如此迷人。这个我们拥有的新几何，甚至可以描述变化的宇宙！龙的曲线是由物理学家J·E·亥威最先发现的，它可以通过若干步骤形成。
　　
　　这里所用的方法与生成雪花曲线一样。在雪花曲线中，我们从一个等边三角形开始，然后在它三分边的中段加上一个较小的等边三角形，并持续同样的过程。而龙的曲线是由一个等腰直角三角形开始的，以该等腰直角三角形的直角边为斜边作另外的等腰直角三角形，再以这些新等腰直角三角形的直角边为斜边作另一些等腰直角三角形，如此等等。并将所有的斜边删除掉，如上图所示。现在，你可以尝试创造你自己的分形。从一些其他类型的几何对象开始，并设计一种类似的程序。（来源：数苑）