莫比乌斯带：只有一面的魔环

小时候手工课，经常有要把纸裁成带然后再粘成环的活要干。这个任务即使对小朋友来说也是很简单的。但有时总会有些马大哈会犯糊涂，在把纸带两端粘成环之前不小心翻了个面，纸环就变得歪歪斜斜的了。
　　

　　这也不是什么大事，撕了重粘就好了。但是，既然纸环已经变成这样了，何妨把玩一番呢？要知道，这就是鼎鼎有名的莫比乌斯带。
　　
　　很多读者应该都知道莫比乌斯带的特别之处：它只有一个面，也只有一条边。在数学上，这样的曲面有一个特别的名字：单侧曲面。怎么证明它只有一个面呢？很简单，我们用红笔在上面沿着它的走向画一条线（不跨越边沿），在笔回到起点的时候，我们会发现红笔已经涂过了纸环的所有面。如图：
　　

　　这就可以很好说明莫比乌斯带只有一个面了。
　　
　　如果我们在普通的纸环上面做同样的操作的话，当笔回到起点时容易知道还有一面没有涂过，所以普通纸环不是单侧曲面，实际上每个人都知道它有两个侧面。
　　
　　如果我们沿着这条红线把环剪开，会得到什么呢？
　　

　　相信很多朋友都知道了，我也就不卖关子了：这个纸环会被剪成一个中间旋转了两个半圈的大纸环：
　　

　　但是，可能没有多少人留意到，经过一番摆弄，这个纸环可以变成一个两层的“莫比乌斯带”。之所以要加引号，是因为这个毕竟也是双侧曲面，而不像真正的莫比乌斯带那样是单侧曲面。
　　

　　要做到同样的效果，我们也可以用两层纸带用类似做莫比乌斯带的方法来粘贴，只不过两层纸要分别粘贴而已。
　　
　　好了，回到那个剪了一次的纸环那里去。如果我们再剪一次，会发生什么事情呢？现在这个纸环已经是不是单侧曲面了，所以剪开以后应该至少出现两个环。问题是，那会是怎么样的两个环呢？
　　

　　好了，结果出来了，是两个和刚才一样的纸环，不过这两个纸环是套在一起的。
　　
　　如果我们摆弄一下，能把它们弄成刚才没有开剪之前的大纸环的一个双层版本。
　　

　　再摆弄一下，又能把它们弄成一个四层的“莫比乌斯带”。
　　

　　可以证明，如果我们这样不停的剪下去，每次剪出来的都是一样的纸环（中间有两圈旋转的），而且都套在一起，还能弄成一个多层的“莫比乌斯带”。一个不大严谨的证明应该是不复杂的。（提示：将每次剪出来的都套成多层“莫比乌斯带”，然后剪开就成了多层的两个半圈旋转大纸环，又能套成多层的“莫比乌斯带”）
　　
　　那么，这东西有什么用呢？
　　
　　首先，这东西既然是数学家做出来的，肯定是有理论上的意义的。事实上，这是数

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