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一道八百年松鼠难题

来源:不详       更新时间:2012-9-6 16:21:13
 

  史上最著名的一道松鼠数学题是这样的:
  
  上帝从伊甸园抓起一把土捏成松鼠亚当,又抽他一根肋骨变作松鼠夏娃。他们都有不死之躯,自由自在终日玩耍。由于太贪玩,二人从第二月开始每月生下兄妹一双。兄妹本着肥水不流外人田的精神,同样自二月大时生小兄妹一双并以每月2只的进度继续下去,小兄妹继续小小兄妹,然后小小生小小小,小小小再小小小小……这是一道天堂里的题,一切情况理想化,所以夫妻从来没有外遇。一年之后伊甸园里统共有几对松鼠呢?
  
  算法是,新一月松鼠总数=上月总数+上上月总数(因为每个月只有辈份最小的兄妹不生育,年长的则两只生两只,数量翻倍)。于是按月排列,松鼠对的数量是:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……后一项总是前两项之和。
  
  如果我说的不明白,当然也可以画图求解:
  
  对松鼠会的自我吹捧到此结束,这道被我篡改的难题原型是兔子,出题者是“中世纪最天才的数学家”斐波纳契(Fibonacci)。虽为天才,但惧怕老爸,该本性成为他的标签永世流传(Fibonacci意为Bonacci的儿子);“兔子问题”正是身为商人的老爸留给他的一道作业。
  
  “0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987……”被称为斐波纳契数列。这位数学家更通俗的一项成就是将阿拉伯数字引入欧洲,于是当中国人写下“叁万捌仟肆佰陆拾壹加玖千贰佰伍拾柒等于肆万柒仟柒佰壹拾捌”时,欧洲人已将晕头转向的“xxxvMMMCDLX+MxCCLVII=xlvMMDCCXVIII”打入冷宫,转以“38461+9257=47718”代之。
  
  言归正传,只有数学家才会因为一串产地伊甸园、毫无生产力价值的数兴奋不已。若真如此简单,斐波纳契数列也不能纠缠世人800年。
  
  让我们先看动物界“疑难杂症”最多的小蜜蜂家族。除了一只蜂皇,所有劳动人民都是雌性,为双亲所生;雄蜂却是孤雌生殖的产物,是没有爹的短命仔。如下图所示,我们用拿一柄矛的“战神”表示雄性,用梳妆镜符号表示雌性,顺藤摸瓜地把二者祖宗八代都列出来。雄性的上辈、上上辈、上上上辈、上上上上辈祖宗数目分别为1个,2个,3,5,8,13;雌性2,3,5,8,13……于是斐波纳契数列显灵了。
  
  如果连蜜蜂一例你都嫌太过“数学”,下边的例子保准属于美学范畴。
  
  首先让我们以“斐波纳契数”为边长画出一组正方形(下图右上),由于数列中每数都是前二之和,所以不论你停止在哪个斐波纳契数,这些正方形都恰能转着圈地码成一个严丝合缝的“斐波纳契矩形”;再连接每个正方形的对角画出四分之一圆周(下图右下红线)——螺壳就这样诞生了(下图左)!绝妙的是,图中这颗螺壳卷了快三圈,最后两段圆弧的半径比55/89已经非常接近黄金分割的数值0.618。你可以除除看——实际上斐波纳契数列越向远方伸展,相邻两数之比则离它越近,这道理正好像追求完美的道路“永无止境”。如果你数学再好一点,懂得勾股定理,请挑战下图右上的蓝线,你能看出来吗,这两条蓝线之比也总为黄金分割0.618。这颗螺,比划比划衣壳上的线段,它无法参透自己为什么在这一刻被斐波纳契数列灵魂附体,也不明白自己怎么长出这么多黄金分割,但它仍然美得不行;在大街上,有时候可以看到裸露的肩膀上晃着经典的“黄金分割模式图”纹身(下图右下),你便知道这位美女与科学是相结合的。
  
  陈述了若干神秘现象,还需用一个有解的题目结束本文。
  
  一头向日葵,中心的瓜子一律排成两组螺旋(如红色所示)。虽然螺旋的数目会因头大头小而变换多少,但它们总是连续的两个斐波纳契数。如果你能看清我画的红道,就可以在这朵中型大小的向日葵

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