庞卡莱是19世纪末20世纪初法国最伟大的数学家，他与德国的希尔伯特领衔当时的数学界，分别继承了黎曼和高斯的衣钵：庞卡莱对物理世界的深刻洞察给了他天马行空般的想象力，一如当年的黎曼；希尔伯特严谨，博学，细致入微地思考，为20世纪前半叶数论和代数几何的发展指明了方向。庞卡莱的拓扑学和希尔伯特的代数几何，就像普朗克的量子论和爱因斯坦的相对论，完全革新了整个学科的基本观念。
这一帖就试试介绍庞卡莱引入的两个概念：“同调群”与“基本群”。它们都是几何体内在性质的“代数体现”。
庞卡莱意识到，描述一个几何体抽象性质的关键在于这个几何体本身有没有边界，以及它是不是其它几何体的边界。比如，一个圆盘和一个球面为什么不同，就是因为圆盘有边界而球面没有边界；球面为什么跟轮胎面不同，就是因为球面上的任何一个圈都是球面某一部分的边界，比如赤道就是北半球面的边界，而轮胎面上有的圈并不是轮胎面任何一部分的边界。
在第一篇里说过，莱布尼兹梦想用符号来表述一些抽象的几何性质。200多年后庞卡莱终于实现了这个梦，他把跟边界有关的性质数量化。先把几何体剖分成基本组成部分（点，边，三边形，四面体，...)，比如，一个球面上可以画四个点，然后把它们两两相连（不允许连线相交），有六条边，这些边把球面分成四个三边形，这就是球面的一个“剖分”（见左图）。剖分的基本组成成份叫做“单形”，“点”是0维单形，“边”是1维单形，“三边形”（包括内部）是2维单形，等等（试想一下3维单形是什么）。
拿之前已经剖分的球面做例子，顶点A,B,C,D是0维单形，边AB,AC,AD,BC,BD,CD是1维单形，三边形ABC,ABD,ACD,BCD是2维单形（如果ABC,ACD是东半球的区域，那ABD,BCD就包括了西半球）。因为考察的是球面，而不是球体，所以没有三维以上的单形。
庞卡莱在单形前面放上系数（整数），假设它们能够相加，以及做同类项合并。这种表达式称为一个“链”，比如
(3AB–2BC)+(AC–5BC)=3AB–7BC+AC.
单形前面的加号减号具有几何意义，“定向”。在1维的时候就是边的方向，比如，AB是从A到B的边，-AB就是从B到A的边，也就是BA，所以BA=-AB.三边形的定向复杂一些，不过本质上就是跟顶点的排列顺序有关，对换两个顶点就会改变定向，
ACB=-ABC.
由于每一个n维单形的边界由若干n-1维单形组成，所以“求边界”可以作为一种运算，作用在“链”上，得到另一个“链”，其每一项都比原来链里对应项的维数低一维。在求边界的过程中，定向也是一个重要因素，虽然AB的边界是两个点A和B,但为了体现定向性质，规定AB的边界是(B–A).这种约定可以推广到高维的链，大家不妨自己试试。
如果用d记求边界运算，在跟定向相容的约定下，它在球面剖分的各单形上作用如下
d(A)=d(B)=d(C)=d(D)=0;
d(AB)=B-A,d(BA)=A-B,d(BC)=C-B,……
d(ABC)=BC-AC+AB,d(BCD)=CD-BD+BC,……
在“链”上的作用，
d(3AB–2BC)=3d(AB)–2d(BC)=3(B-A)–2(C-B)=-3A+5B-2C.
边界运算有一个很好的性质。直观上容易看到，“物体的边界没有边界”。比如，三边形的边界是三条边组成的闭合链。生活中我们说“闭合”的意思就是没有边界。代数上体现为，连续两次求边界一定是零，
d[d(BCD)]=d[CD–BD+BC]=d(CD)–d(BD)+d(BC)=(D-C)–(D-B)+(C-B)=0
现在把剖分后的几何体的所有这样的“链”放在一起，它们之间有加减法（合并同类项），可以用系数乘，还可以“求边界”。这就得到了一个代数对象，叫做这个剖分后的几何[1] [2] [3] 下一页
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