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拓扑学简介(一)

来源:不详       更新时间:2012-9-10 15:01:54
 

  拓扑学是现代数学的一个重要分支,同时是渗透到整个现代数学的思想方法。“拓扑”一词是音译自德文topologie,最初由高斯的学生李斯亭引入(1848年),用来表示一个新的研究方向,“位置的几何”。中国第一个拓扑学家是江泽涵,他早年在哈佛大学师从数学大师莫尔斯,学成后为中国带来了这个新学科(1931年)。
  
  拓扑学经常被描述成“橡皮泥的几何”,就是说它研究物体在连续变形下不变的性质。比如,所有多边形和圆周在拓扑意义下是一样的,因为多边形可以通过连续变形变成圆周,右边这个图上,一个茶杯可以连续地变为一个实心环,在拓扑学家眼里,它们是同一个对象。而圆周和线段在拓扑意义下就不一样,因为把圆周变成线段总会断裂(不连续)。为什么要研究这种性质呢?这就要追溯到几百年以前先贤们的遐想了。好在拓扑学比微积分还是新得多,用不着“言必称希腊”,只要从莱布尼兹开始就行。
  
  莱布尼兹作为微积分的主要奠基者之一,对抽象符号有特殊的偏好。经过他深思熟虑以后的微积分符号系统,比如微商符号dy/dx,不久就把牛顿的符号系统比下去了。在1679年的时候,莱布尼兹突发奇想,尝试用抽象符号代表物体的几何性质,用以将几何性质代数化,通过符号的代数运算,由已有的几何性质产生新的几何性质。他不满意笛卡尔的坐标系方法,认为有些几何性质是跟几何体的大小无关的,从而不能直接在坐标系中予以体现。可能是由于这个想法太超前了,在他自己的脑子里也还只是混沌一片,而当年听到他这个想法的很多人,比如惠更斯,干脆就不予理睬。
  
  莱布尼兹在三百多年前想要建立的,是现在称为“代数拓扑”的学问,中间经过欧拉,柯西,高斯,李斯亭,莫比乌斯,克莱因,特别是黎曼和贝迪的思考和尝试,终于在19,20世纪之交,由法国天才数学家庞卡莱悟到了。在这些先驱中,高斯名气最大,被称为数学王子;大家可能不太熟悉黎曼,其实他同高斯在数学史上的地位是相当的,他在19世纪中叶的很多想法直到现在还有着巨大的影响;莫比乌斯,他在数学上有很多贡献,不过他为世人所知还多半是因为用他的名字命名的奇怪曲面:莫比乌斯带。左边这个图就是莫比乌斯带,它的重要特性是,虽然在每个局部都可以说正面反面,但整体上不能分隔成正面和反面。这种曲面叫做“单侧曲面”。在这样的曲面上散步一定很别扭,哈哈。(来源:科学松鼠会)

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