数的创生之方程的解

人们最初产生了自然数1,2,3,......的概念，后来产生了0和负数的概念。这些概念虽然已经成为最简单的常识，但它们实际上是非常抽象的概念。人类可能已经进化出了理解这一类抽象概念的基因，这才使得”学习数字“成为很简单的事情。这种把具体而复杂的事物抽象为简单概念的过程，就是”数学“这门学科的发展过程。而到了21世纪，人们已经开始反思，这个过程是否过多地隐藏了世界呈现给我们的重要信息？我们也许应该从抽象的数学对象和它们之间简单的相互关系返回到它们所代表的、更为复杂丰富的事物及其相互关系。这就是本世纪数学界所谓“范畴化”浪潮。这是一点题外话，可能是另一篇帖子的主题。现在我们开始谈谈“数”。
　　
　　引进0和负数自然有很多历史的理由，但从抽象的观点来说，可以理解成是为了使“减法”对任意选取的两个自然数有意义。同理，引进“分数”是为了使“除法”对任意选取的两个自然数有意义。负数概念和分数概念使我们有了最“自然”的所谓“数系”，所有“有理数”。在这个数系里，可以几乎自由地做“加、减、乘、除”运算。古希腊的毕达哥拉斯学派曾经认为有理数就是所有的宇宙奥秘。从数学的角度来说，这几乎是对的。其它一切“数”，进而大多数数学对象，都可以认为是从有理数系里面衍生出来的，而且是纯粹思维的产物。只有有理数是现实中”可见“的，或者说，”可操作“的。
　　
　　发现无理数的过程大家可能都听说过，最初认识到有理数之外的数可能存在的人遭到了毕达哥拉斯学派”卫道士“们的血腥屠杀。但是历史的洪流是任何力量阻挡不了的，无理数还是迅速在人类的思维中占有了一席之地。从有理数系到实数系的扩展已经是更抽象的数学过程，大学里只有两三个非常依赖数学的专业才要求掌握其严格表述。直观上看，从有理数到实数可以看作一个从有限到无限的扩展。我们小学就已经学到了”循环小数“和”无限不循环小数“。有限长度的小数和循环小数都可以看作某种程度上有限的东西（至少可以用有限的表达式表示），而无限不循环小数是真正无限的东西，本质上是不可操作的、纯思维的对象。所有的小数构成了实数系。
　　
　　通常大家认为，复数是比实数更复杂的东西。但事实并非如此。有些复数比有些实数要简单得多。比如，虚数单位i就比圆周率π要简单得多。i就是二次方程x2+1=0的一个解。而这个方程的系数特别简单。圆周率π是某个系数为有理数的多项式方程的解吗？不是。但要证明这一点却不容易。可以看到，像虚数单位i这种数可以从整数出发经过有限的、可操作的步骤扩展出来（列出一个方程，然后定义”新的数“为此方程的解，即，这个方程就是这个新定义的数满足的全部关系，从而可以作为这个”数“的定义。比如，我们所要知道的关于虚数单位i的全部信息就是i2+1=0,有了这个关系，我们就可以自由地使用它了。）显然，被称为”平方根“、”立方根“的那些数都是如此定义的。就像√2这个符号，它只是个抽象的符号而已，其实我们只知道并且只需要知道它的平方等于2.
　　
　　我们现在看到一种可操作的产生新数的办法，它不同于以往产生新数的办法，以往是为了让旧有的数之间直接的”运算“（减法、除法）总是有意义而产生的新数，而现在这种办法是为了我们总能解出以旧有的数为系数的”多项式方程“而产生的新数。以有理数为系数的多项式方程的解称为”代数数“。虚数单位就是一个”代数数“，整数的平方根也是”代数数“。代数数之间同样可以自由进行加减乘除运算，同时，还可以自由进行开方、解代数方程的操作。这种产生新数的办法一旦建立，其威力无穷。古希腊尺规作图三大难题马上就有了结论。
　　
　　尺规作图，咱们中国古人从来不计较什么规矩。这里规矩应该加引号，因为规矩本来就是指圆规和两把互相垂直钉在一起的尺（一把叫勾，一把叫股）。所以按照原意，咱们中国古人作图还是有“规矩”的。咱们的“规矩”上面画满了刻度，作起图来好用得很。当时的西方人，古希腊人，贫富两极分化太厉害，所以有一部分富人开始瞎想。这又跟如今中国两极分化的情况不同，如今好像是穷人才爱瞎想。再说古希腊人，他们喜欢没有刻度的尺（没有他们这类怪癖就没有现代科学），古希腊人希望用没有刻度的直尺和圆规做以下这三件事：
　　
　　1.倍方：给定一个立方体，存在一个大立方体，体积是原来那个的两倍。用尺规作出大立方体的边长。
　　
　　2.化圆为方：给定一个圆，存在一个正方形，面积等于这个圆的面积。用尺规作出这个正方形的边长。
　　
　　3.三等分角：任给一个角，用尺规把它三等分。
　　
　　这几个问题合称

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