位，再做欧几里得除法b1×m=a2×y+b2.一直这么做下去，有两种可能：（1）在某一步余数为0，过程结束；（2）余数永远不为0，长除法无限进行下去。把每一步的商数按顺序放在一起，就构成了r/y的m-进制表示0.a1a2a3...这个小数必然是有限或者循环小数，因为每一步的余数都小于y,只有有限种可能，一定会重复出现，从而商数也会重复出现。举个例子:将分数2/5表示为8-进制小数。不断移位做除法，2×8=16=3×5+1,接着1×8=8=1×5+3,接着3×8=24=4×5+4,接着4×8=32=6×5+2,余数2重复出现,从而欧几里得除法2×8=16=3×5+1再次出现,...这样，我们把商数按顺序放在一起，得到循环小数2/5=[0.314631463146...]8
从上述段落我们应该看到，整数和分数是抽象的概念，而小数则是它们在某进位制下的表现形式。同一个有理数，在不同的进制下表示为不同的小数。细心的读者可能注意到，在进位制下展开整数和展开小于1的分数的方法不同，一个是被进位单位除，然后收集“余数”，一个是被本身的分母除，然后收集“商数”。然而，一句耳熟能详的话说，“整数是特殊的分数”，为什么展开方法如此不同？（此处请读者自己思考5分钟。答案是，分数的展开方式同样适用于整数，读者应该不难发现怎么做。）
取一个进制，可以把有理数展开为有限或者循环的小数。那么在此进制中那些无限而不循环的小数对应什么抽象的对象呢？如果是拾-进制，我们都知道答案：无理数。那么其它进制下的无限不循环小数也是无理数吗？或者说，无理数的定义是否依赖于进制选择？同样请读者自己思考5分钟，答案下几段揭晓。
现在我们进入光怪陆离的世界，看看跟小数相反的对象：“大数”。要理解这个概念，先要理解长除法的本质是通过移位和做欧几里得除法将有理数表示为各个位上的数字所表示的有理数的和，
52/5=拾+2/5=[12.314631463146...]8=1×81+2×80+3×8-1+1×8-2+4×8-3+6×8-4+...
这个例子中的小数是一个无穷和，在进位单位8的负幂次一端可能有无穷多项，而在正幂次这一端一定是有限项。19世纪数论的发展（特别是解不定方程方面的发展）促使人们去尝试另一种可能，即，在负幂次一端是有限项，而在正幂次这一端延伸到无穷。怎样实现有理数的这种“大数”展开？同样，应该通过长除法。但是具体做法有所不同。之前的长除法，是在每一步把余数向上移位，即，乘以进位单位m.移位后再做欧几里得除法，其商数虽然是整数，但考虑到移位，这商数应该往下移位。从公式上会看得更加明显：
r×m=a1×y+b1
等价于
r=(a1m-1)×y+(b1m-1)
下一步
b1×m=a2×y+b2
等价于
b1m-1=(a2m-2)×y+(b2m-2)
可见，在每一步把余数向上移位，然后做欧几里得除法，其效果是得到小数表示的更低位数字。现在我们要反其道而行，希望在每一步得到更高位的数字，就需要将余数向下移位，即，除以m.以公式表示，比如我们要将x/y展开为m-进制的大数，第一步是
x=s×y+t,要求其中0≤s<m以及t被m整除
下一步，
t/m=c1×y+d1,要求其中0≤c1<m以及d1被m整除
再下一步
d1/m=c2×y+d2,要求其中0≤c2<m以及d2被m整除
按此继续，可能到某一步d k-1/m=ck×y+0,那么我们得到一个上一页 [1] [2] [3] [4] 下一页
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