Riemann 猜想漫谈(一)

　　这里我们采用的是历史文献中的记号，式中的积分实际是一个环绕正实轴(即从+∞出发，沿实轴上方积分至原点附近，环绕原点积分至实轴下方，再沿实轴下方积分至+∞——离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于0)进行的围道积分；式中的Γ函数Γ(s)是阶乘函数在复平面上的推广，对于正整数s>1：Γ(s)=(s-1)!。可以证明，这一积分表达式除了在s=1处有一个简单极点(simplepole)外，在整个复平面上处处解析。这样的表达式是所谓的亚纯函数(meromorphicfunction)——即除了在一个孤立点集(setofisolatedpoints)上存在极点(pole)外，在整个在复平面上处处解析的函数——的一个例子。这就是Riemannζ函数的完整定义。
　　
　　运用上面的积分表达式可以证明，Riemannζ函数满足以下代数关系式——也叫函数方程(functionalequation)：
　　
　　ζ(s)=2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)
　　
　　从这个关系式中不难发现，Riemannζ函数在s=-2n(n为正整数)取值为零——因为sin(πs/2)为零[注三]。复平面上的这种使Riemannζ函数取值为零的点被称为Riemannζ函数的零点。因此s=-2n(n为正整数)是Riemannζ函数的零点。这些零点分布有序、性质简单，被称为Riemannζ函数的平凡零点(trivialzeros)。除了这些平凡零点外，Riemannζ函数还有许多其它零点，它们的性质远比那些平凡零点来得复杂，被称为非平凡零点(non-trivialzeros)。对Riemannζ函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。我们所要讨论的Riemann猜想就是一个关于这些非平凡零点的猜想，在这里我们先把它的内容表述一下，然后再叙述它的来笼去脉：
　　
　　Riemann猜想:Riemannζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s)=1/2的直线上。
　　
　　在Riemann猜想的研究中，数学家们把复平面上Re(s)=1/2的直线称为criticalline。运用这一术语，Riemann猜想也可以表述为：Riemannζ函数的所有非平凡零点都位于criticalline上。
　　
　　这就是Riemann猜想的内容，它是Riemann在1859年提出的。从其表述上看，Riemann猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题，但我们很快将会看到，它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。
　　
　　注释1.Hardy的这个解释让我想起了一句有趣的无神论者的祈祷语：God,ifthereisone,savemysoulifIhaveone(上帝啊，如果你存在的话，拯救我的灵魂吧，如果我有灵魂的话)。2.远在Riemann之前，Riemannζ函数(当然那时还不叫这个名字)的级数表达式就已经出现在了数学文献中，但是那些表达式中函数的定义域较小。Riemann把Riemannζ函数的定义域大大地延拓了，这一点对于Riemann猜想的表述及研究具有重要的意义。仅凭这一点，即便把Riemann称为Riemannζ函数的提出者之一，也并不过份。
　　
　　3.sin(πs/2)在s=0及s=2n(n为正整数)时也为零，但是在s=0时ζ(1-s)有极点，s=2n(n为正整数)时Γ(1-s)有极点，因此只有在s=-2n(n为正整数)时可以由sin(πs/2)=0推知Riemannζ函数的取值为零。（来源：科学松鼠会）

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