八.零点在哪里？
随着Riemann论文中的外围命题——那些被Riemann随手写下却没有予以证明的命题——逐渐得到证明，随着素数定理的攻克，也随着Hilbert演讲的聚焦作用的显现，数学界终于把注意力渐渐投向了Riemann猜想本身，投向了那座巍峨的主峰。
不知读者们有没有注意到，我们谈了这么久的Riemannζ函数，谈了那么久的Riemannζ函数的非平凡零点，却始终没有谈及过任何一个具体的非平凡零点。这也是Riemann论文本身的一个令人瞩目的特点，即高度的言简意赅，它除了没有对所涉及的许多命题给予证明外，也没有对所提出的包括Riemann猜想在内的若干最困难的命题提供任何数值计算方面的支持。Riemann叙述了许多有关Riemannζ函数非平凡零点的命题(比如第五节中提到的三大命题)，却没有给出任何一个非平凡零点的数值！
倘若那些非平凡零点是容易计算的，那倒也罢了，可是就像被Riemann省略掉的那些命题个个都令人头疼一样，Riemannζ函数的那些非平凡零点也个个都不是省油的灯。
它们究竟在哪里呢？
直到1903年(即Riemann的论文发表后的第四十四个年头)，丹麦数学家GørgenGram(1850-1916)才首次公布了对Riemannζ函数前15个非平凡零点的计算结果[注一]。在这15个零点中，Gram对前10个零点计算到了小数点后第六位，而后5个零点——由于计算繁复程度的增加——只计算到了小数点后第一位。为了让读者对Riemannζ函数的非平凡零点有一个具体印象，我们把Gram所计算的这15个零点列在下面。与此同时，我们也列出了这15个零点的现代计算值(保留到小数点后第七位)，以便大家了解Gram计算的精度：
零点序号Gram的零点数值现代数值
11/2+14.134725i1/2+14.1347251i
21/2+21.022040i1/2+21.0220396i
31/2+25.010856i1/2+25.0108575i
41/2+30.424878i1/2+30.4248761i
51/2+32.935057i1/2+32.9350615i
61/2+37.586176i1/2+37.5861781i
71/2+40.918720i1/2+40.9187190i
81/2+43.327073i1/2+43.3270732i
91/2+48.005150i1/2+48.0051508i
101/2+49.773832i1/2+49.7738324i
111/2+52.8i1/2+52.9703214i
121/2+56.4i1/2+56.4462476i
131/2+59.4i1/2+59.3470440i
141/2+61.0i1/2+60.8317785i
151/2+65.0i1/2+65.1125440i
几十年来，这是数学家们第一次拨开迷雾实实在在地看到Riemannζ函数的非平凡零点，看到那些蕴涵着素数分布规律的神秘家伙。它们都乖乖地躺在四十四年前Riemann划出的那条奇异的临界线上。Gram的计算所使用的是十八世纪三十年代发展起来的Euler-Maclaurin公式[注二]。在只有纸和笔的年代里，这种计算是极其困难的，Gram用了好几年的时间才完成对这15个零点的计算。但即便付出如此多的时间，付出极大的艰辛，他在后五个零点的计算精度上仍不得不有所放弃。
在Gram之后，R.J.Backlund于1914年把对零点的计算推进到了前79个零点。再往后，经过Hardy、英国数学家JohnLittlewood(1885-1977)、美国数学家JohnHutchinson(1867-1935)等人的努力
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