欢迎您:登录 | 注册
科普之友首页
※您现在的位置: 科普之友 >> 数学 >> 趣味数学 >> 正文  

利用杠杆原理证明三角形的三线共点

来源:不详       更新时间:2012-9-27 11:10:53
 
在《三角形重心原理和杠杆原理》一文,说了点数学结论里面的物理原理,数理本就一家,今天我们再来一次这样的探讨。我们用杠杆原理证明三角形里著名的三线共点。不过并不打算一个一个证明,因为所有的三线共点都可以归结为著名的塞瓦定理,只要我们能证明塞瓦定理,所有的三线共点都只是其中的一种特殊情况而已,这一点我在《三角形的那些三线共点的证明》一文里已经很详细阐述。
  
  先看今天的主角——杠杆原理:
  
  质点组的重心在两质点的连线上,且到两质点的距离与这两点的质量成反比。用图形话的语言来说就是:
  
  如果O点是G和M的平衡点,G点和H点的质量为G何H,他们到平衡点的距离为m和n,则一定有Gm=Hn。反之,若O点的位置满足Gm=Hn。则O点一定是G和H的平衡点。
  
  今天就是要用杠杆原理来证明塞瓦定理,当然首先要知道什么是塞瓦定理。
  
  塞瓦定理:
  
  在△ABC中,过三顶点向对边做线段,AX、BY、CZ,则这三条线段交于一点的充要条件是:
  
  看这结论多漂亮!我们如今用杠杆原理来证明
  
  证明:设BX=a,XC=b,CY=c,YA=d,AZ=e,ZB=f。在B点放置质量为a的质点,C点放置质量为b的质点,A点放置质量为bd/c的质点,至于为什么要这样放,看下图就知道:
  
  之所以这样放,就是因为这时候B点和C点的重心就在X点(因为满足杠杆原理),A点和C点的重心就是Y点。因此,质点组(A,B,C)的重心一定在直线AX上,又在BY上,也就必然是AX和BY的交点了,如果我们能证明该质点组的重心还在CZ上的话,那就说明CZ过AX和BY的交点了,因为一个质点组的重心只有一个,从而证明了AX,BY和CZ共点。而依据条件:
  
  这样就证明了塞瓦定理。我们可以依照类似的方法证明必要性,在这里我就忽略了。有了塞瓦定理,那么三角形的那些三线共点就都可以得到证明。(来源:学夫子数学博客)

  • 上一个数学:

  • 下一个数学:

  • 让数学像魔术一样有趣

    一个有关勾股定理的猜想

    杨辉三角的兄弟  Rascal Triangl

    梅森素数:千年不休的探寻之旅

    一个算了二千多年的数值

    关于向量的除法(2)

    Riemann 猜想漫谈 (十)

    为何规定负负为正

    高中数学破题技法之西瓜开门 滚到

    探究π和e的实际意义

    为何复数角度运算法则和对数如此

    Riemann 猜想漫谈(四)
    趣味数学
    自然地理
    普通自然地理[自然生物]美摄影师辛苦12载拍摄南极奇妙
    普通自然地理[今日地理]乌克兰一只鳄鱼误吞手机后绝食
    普通自然地理[自然生物]研究报告警告:全球五分之一脊
    普通自然地理[今日地理]全球15种奇特动物:邦加眼镜猴
    宇宙奥秘
    [航空航天]遗失已久阿姆斯特朗登月录像将
    [航空航天]美国发现号航天飞机发射时间确
    [航空航天]天宫一号升空倒计时 “冻结”状
    [航空航天]中国火星志愿者飞行百日获连环
    未解之谜
    [UFO飞碟]震撼2011年8月30日广州岑村巨型
    [未解之谜新闻]5万只愤怒蜜蜂围困警车3小时(图
    [UFO飞碟]英国解密UFO文件 丘吉尔曾下令
    [麦田怪圈]ufo麦田怪圈精心收藏视频
    生命科学
    [生物*医学]中国成功研发唾液检测吸毒技术
    [生物*医学]世界最矮男庆祝18岁生日 许愿想
    [生物*医学]美出现医学史上最大移植链 16人
    [生物*医学]高血压与肾脏神经有关 无线电波
    动物世界
    [动物趣味知识]什么动物喜欢吃花生 
    [动物世界]中国同性恋企鹅“夫妇”领养小
    [动物趣味知识]野生动物保护的方法和现状 
    [动物世界]自然界中的卡通人物 多部动画片
    科普文章
    [数学教学教研]北京四中名师谈:高一数学怎么
    [物理实验研究]光的折射现象
    [力学]动能定理\动量定理
    [地球科学]研究表明地球海洋“土生土长”
    [物理资讯]饺子或肉丸煮熟了为什么会浮起
    [化学课外知识][中国化学家] 吴浩青
    设为首页 | 加入收藏 | 联系我们 | 友情链接 | 使用本站前必读
    Copyright © 2007 - 2011 科普之友( www.kepu365.com ) Corporation, All Rights Reserved