作者：学夫子
前不久我们在《欧氏对局》的两篇文章里介绍了欧氏对局，任意给定两个不相等的数m和n，且n>m采用欧氏对局的规则，将有下面的结论
我们的欧氏对局限制在自然数的范围,将会有上面的结果，我们惊奇地发现，决定欧氏对局的，竟然是黄金分割比！详细可以参考相关文章。如果我们今天将思路扩展一下，最先的数不限制在自然数，而是一切实数的话，结果会怎样？
我们要注意的是，对于任意的两个实数，按照欧氏对局的规则不一定就会出现零，比如
π,3,π-3,6-π,9-2π,5π-12,……
但是也有可能出现零，比如1.5和2.3
2.3,1.5,0.8,0.7,0.1,0.6,0.5,0.4,0.1,0.3,0.2,0.1,0.1,0
再比如1/3和1/5
1/3,1/5,2/15,1/15,1/15,0
实际上我们可以看到，如果n和m都是有理数的话，最终会出现零，因为将两个有理数化为同分母的分数以后，最终相减的只是分子在相减，实际上也就相当于两个自然数的情况。但是若两个数是无理数，也有可能出现零，比如√2和2√2，最终就会出现零。假设最终出现的是0和a，其中a为实数，反推回去就会知道，不可能出现无理数，也就是无理数的最终结果一定是无理数。如果a为无理数，则最初的数对只可能是(ka,ha)其中k和h均为整数的形式，换句话说，只要n/m是一个有理数，那最终结果就可以分出胜负。那么这种情况下的胜负情况又是如何？是否和自然数的胜负情况一样的呢？
1：假设n和m均为有理数，将他们化成同分母的分数m=g/p，n=h/p。我们可以看到，最终的操作其实只是在分子上进行，所以结果的胜败也就是等同于g和h，而g/h=m/n，所以我们可以看到，这种情况仍然满足结论。
2：如果n和m都是无理数，并且n/m是有理数，那么可以令n=pa，m=qa，其中a为一个无理数，所以实际上后面的进行过程都只是在p和q之间进行，因为a一直都被带着走，而p/q=n/m，所以可以说在这种情况下，仍然满足欧氏对局的结论。
实际上上面所有的讨论过程可以归结为：数对(m,n)的胜败与(am,an)的胜败是一样的，因为每一步你都可以把公因式带着走。这也符合我们的结论，即胜败只取决于这两个数的比值。以一个例子说明吧：
(1/3a,0.5a)=(2/6a,3/6a)→(2/6a,1/6a)→(1/6a,1/6a)→(0,1/6a)
大家可以看到，实际上整个过程就是数对(1,2)的对局过程，而对于1/6a至始至终都跟着走的。不管a是整数有理数还是实数，甚至于是一个多项式，都是一样的道理，所以对于实数对(n,m)的欧氏对局，我们依然有下面的结论：
1：若n/m不是有理数，则这样的欧氏对局不可能会有结果。
2：若n=m，则先手为胜。
3：若n≠m，n>m，且n/m为有理数，则：
来源：学夫子数学博客
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