Riemann 猜想漫谈 (十)

　　作者：佚名
　　
　　更高、更快、更强
　　
　　三亿个零点摆平了Zagier，但显然远不是对Riemannζ函数非平凡零点进行计算的终点。不过在介绍进一步的进展之前，我们先要对零点计算做一点补充说明。
　　
　　当我们说到零点计算的时候，一般人会很自然地认为所谓零点计算，顾名思义就是计算零点的数值。不知读者在阅读上一节时有没有想过这样一个问题：那就是三亿个零点，即使每个只保留十位有效数字，写下来也有三十亿个数字(如果加上小数点、等号及零点编号等，则数字差不多还要翻上一番)。这许多数字以每页三千个数字而论，起码也要一百万页纸才能记录下来！当然，大规模的零点计算既然是用计算机进行的，计算结果不是非得记录在纸上不可的。但三十亿个数字所需占据的存储空间差不多是3GB，这在今天虽然算不了什么，在1982年却是非同小可的数量，用任何方式来记录都并不容易。以计算机硬盘为例，当时容量为几个MB的就算是很大的硬盘了，价格十分昂贵。而要想记录三亿个零点，起码需要上千个那样的硬盘！那得花多少钱？若果真如此，Zagier岂不还大大低估了他那两瓶葡萄酒的价值？
　　
　　其实，狡猾的teRiele根本就没有计算那三亿个零点的具体数值。事实上，除了最初那些小范围的计算外，我们前面介绍的大规模零点计算基本上都并不给出零点的具体数值，而只是验证它们是否在临界线上。因此，当人们说“计算了前N个零点”时，实际上指的往往只是验证了前N个零点是否位于临界线上[注一]。
　　
　　但是不计算零点的数值，又如何能判断零点是否在临界线上呢？答案其实很简单。我们在第十一节中曾经介绍过，要研究Riemannζ函数在临界线上的零点，只需研究Z(t)的符号改变即可。假如在区间0<t<T内Z(t)的符号改变了N次，则Riemannζ函数在临界线上该区间内至少有N个零点。另一方面，我们虽不确定是否所有零点都在临界线上，却知道它们全部位于临界带0<Re(ρ)<1内(参阅第七节)，而人们早就知道如何计算临界带内位于区间0<Im(ρ)<T内的零点总数(最早的方法是由Riemann本人给出的，即对dξ(s)/2πiξ(s)沿矩形区域{0<Re(ρ)<1,0<Im(ρ)<T}的边界做围道积分——参阅第五节)。显然，只要我们能够证明：
　　
　　1.在临界带内位于区间0<Im(ρ)<T的零点总数为N。
　　
　　2.在临界线上位于区间0<t<T的零点至少有N个。
　　
　　就可以推知Riemannζ函数的前N个零点全部位于临界线上。由于这两者的证明都不必涉及零点的具体数值。因此我们可以不计算零点数值就直接证明Riemannζ函数的前N个零点(或更一般地，复平面上某个区域内所有的非平凡零点)都位于临界线上，这正是大多数零点计算所采用的方法。
　　
　　对Riemannζ函数零点的计算越推进(即N越大)，我们在复平面上沿虚轴方向就延伸得越高(即T越大)。随着计算机的运算速度越来越快、运算成本越来越低，teRiele的三亿个零点的记录很快就失守了。四年后，由他本人及J.vandeLune领衔将计算推进到了十五亿个零点。此后vandeLune及其他一些人继续进行着零点计算。不过这时已很少有人像当年的Turing那样觉得有可能通过零点计算直接找到Riemann猜想的反例，也再没有像Zagier那样敢于下注的“勇士”了。人们在计算零点上的兴趣和投入遂大为下降。这其中一个显著的变化就是逐渐用廉价的小型或微型计算机取代以往的大型计算机，且往往使用机器的闲散时间而非正规工作时间来进行零点计算。但尽管如此，计算机技术的神速发展还是抵消了所有这些因素带来的不利影响。零点计算仍在推进着，只是推进的速度变得缓慢起来。这种趋势一直延续到了二十世纪末(2000年)。
　　
　　但是到了二十一世纪伊始的2001年8月，情况有了新的变化。德国BöblingenIBM实验室的研究者SebastianWedeniwski启动了一个被称为ZetaGrid的计划，建立了迄今为止最强有力的Riemannζ函数非平凡零点计算系统，重新将零点计算推向了快车道。ZetaGrid系统将零点计算通过计算机网络分散到了大量的计算机上，从而极大地拓展了资源利用面。这种将计算工作通过网络分散到大量计算机上的计算被称为分布式计算(distributedcomputi

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